Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen → Lösung überprüfen

Question

Aufgabe:

Schneiden sich die Ebenen E1 und E2? Bestimmen Sie ggf. die Schnittgerade.

Die Ebenen sind:

\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ; \quad E_{2}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) \)

Ansatz/Problem:

Ich habe zuerst die Koordinatenform bestimmt:

E1 = -x+z+2-3=0

E2= -2x+2z+8=0

Dann habe ich die 1. Ebene nach z aufgelöst und in die 2. Ebene eingesetzt.

Am Ende habe ich -2=-8 herausbekommen und darausschließe ich, dass die Ebenen parallel zueinander verlaufen.

Habe ich alles richtig gemacht?

Answer 1

Nachdem du siehst das die Normalenvektoren linear abhängig sind, die Gleichungen aber nicht linear abhängig, hättest du dir eigentlich das weitere Vorgehen schenken können. Man sieht eventuell auch in der Aufgabe schon das die Richtungsvektoren der einen Ebene durch die der anderen Ebene darstellbar sind. Dann kann man sich bereits das erstellen der Koordinatenform der Ebenen schenken.

Ansonsten ist dein Vorgehen natürlich völlig richtig. Und dein Ergebnis ist auch richtig.