Koordinaten einer Schnittgerade von Ebenen

Question

Ich soll die fehlenden Koordinaten Ys und Zs für Xs = 7 bestimmen, indem ich die Schnittgerade g der Ebenen E1 und E2 nutze. Gegeben ist:

E1: -6x +1y + 5z = 8
E2: (-10 , 3 , 4)^T * r (Vektor) = -8

In welche Form muss ich denn die Gleichungen gleichsetzen damit ich ein Gleichungssystem aufstellen kann? Mich stört der r (Vektor) bei E2.

Für Ys müsste 10 und für Zs müsste 8 herauskommen.

Answer 1

Hallo Martin,

schreibt man die Vektoren als Zeile statt als Spalte, hat man für E₂

 (-10 , 3 , 4)^T * r (Vektor) = - 8    ⇔  [-10, 3, 4] * [x, y, z]  = - 8 

                                                   ⇔  - 10x + 3y + 4z  = - 8  (G2)

                                               E_{1 :}     - 6x  + 1y + 5z  =  8   (G1)  

Jetzt kannst du x_s = 7   in G1 und G2 einsetzen und das LGS mit 2 Variablen y_s  und z_s  lösen.

Kontrollergebnis:  S( 7 | 10 | 8 )

Gruß Wolfgang

Answer 2

Hallo Martin,

das \(r\) kannst Du auch durch einen Vektor \(r=(x,y,z)^T\) ersetzen. Ausmultiplizieren der Gleichung \(E2\) ergibt

$$E2: \space -10x +3y +4z= -8$$

Zusammen mit der Gleichung von \(E1\) kann man nun eine  der drei Koordinaten eliminieren. Hier z.B. indem man die Gleichung für \(E1\) mit 3 multipliziert und dann beide Gleichungen von einander subtrahiert:

$$E1: -18x + 3y + 15z = 24$$

$$E2-E1: \space 8x -11z = -32$$

Hier kann man bereits aufhören, da die Aufgabe nicht lautet, die Schnittgerade zu bestimmen, sondern den einen Punkt \(S\) mit \(x_S=7\) zu finden. Das setze ich jetzt ein:

$$8 \cdot 7 -11z_S = -32 \quad \Rightarrow z_S=8$$

Umformen der Ausgangsgleichung von \(E1\) ergibt dann das fehlende \(y_S\)

$$y_S = 8 + 6 x_S -5 z_S = 8 + 6 \cdot 7 - 5 \cdot 8 = 10$$

Gruß Werner