Zwei Funktionen einzeichnen und Nullstellen berechnen: f(x) := x^3 - 3x+1, g (x):= -1,5x^2 -3x+1

Question

meine Funktionen lauten

 

f (x):= x³ - 3x+1

und 

 

g (x):=  -1,5x² -3x+1 

Answer 1

f(x) = x^3 - 3·x + 1

g(x) = - 1.5·x^2 - 3·x + 1

Skizze der Funktionen

Nullstellen für f(x)

x^3 - 3·x + 1 = 0
x = 0.3472963553 ∨ x = 1.532088886 ∨ x = -1.879385241

Gefunden mit dem Newtonverfahren.

Nullstellen für g(x)

- 1.5·x^2 - 3·x + 1 = 0
x = - √15/3 - 1 ∨ x = √15/3 - 1
x = -2.290994448 ∨ x = 0.2909944487

Gefunden mit der Mitternachtsformel.

Comments

wenn eine Funktion 3grades gegebn ist bedeutet das das sie nicht symmetrisch aber fast gleich aussieht ??

also fast symmetrisch?? weil bei dieser Skizze wikrt es demnach

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Eine Funktion 3. Grades ist immer symmetrisch zum Wendepunkt. In Kurvendiskussionen wird solche Symmetrie allerdings meist nicht untersucht.

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wie wurde das mit dem Newtonverfahren gemacht?

habe davon mla gehört .... aber ich kann die REchnung keines Weges nachvollziehen


LG

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Man muss nicht das Newtonverfahren verwenden. Es geht auch ein beliebiges anderes Näherungsverfahren. 

Wenn man nach Newton nähert

- 1.5·x² - 3·x + 1 = 0 
3·x^2 + 6·x - 2 = 0

f(x) = 3·x^2 + 6·x - 2
f'(x) = 6·x + 6

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n) = x_n - (3·x_n^2 + 6·x_n - 2) / (6·x_n + 6)

Da setzt man jetzt auf der rechten Seite eine erste Näherung der Nullstelle ein und erhält als ergebnis eine bessere Näherung der Nullstelle.

Wenn man mit 0 beginnt

x0 = 0
x1 = 0.3333333333
x2 = 0.2916666666
x3 = 0.2909946236
x4 = 0.2909944487
x5 = 0.2909944487

So kann man das auch für die anderen Nullstellen machen. Mit dem Taschenrechner ist das sehr schnell auszurechnen.

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und welcher dieser ganzen Nullstellen brauch ich ?

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x5 ist die beste Näherung für die eine Nullstelle. Die Näherung findest du auch oben in der Lösung. Für die anderen Nullstellen verfährst du genau so.

Eine etwas genauere Erklärung des Verfahrens findest du unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Answer 2

Man kann die Nullstellen von  f  auch direkt ohne Näherungsverfahren angeben.
Die lauten  x₁ = -2·cos(π/9), x₂ = 2·cos(2·π/9)  sowie  x₃ = 2·cos(4·π/9).

Comments

Ja ich weiß, dass man hier die Cardanische Formeln anwenden kann. Aber ich kann nicht nicht so kurz erklären, dass der Fragesteller es kapiert. Er hat ja schon Schwierigkeiten mit dem Newtonverfahren. Aber du kannst es gerne probieren.

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Es geht auch ohne Cardanische Formeln.
Bekanntlich gilt  cos(3·z) = 4·cos³(z) - 3·cos(z)  für alle  z ∈ ℝ.
Wählt man  z.B.  z = π/9, erhält man  x₁ = -2·cos(z)  als Nullstelle von  f.