normalvektorform und parameterfreie darstellung

Question

Hallo

Die Aufgabe lautet bestimme die normalvektorform und die parameterfreie Darstellung der durch 3 Punkte festgelegten Ebene e.

A=(1/2/0)

B=(2/-1/1)

C=(0/-1/-1)

Ich habe es gemacht aber ich mache was falsch denke ich den bei den Lösungen kommt was anderes heraus. (siehe Foto)

Meine Bitte wäre nun meine Fehler zu korriegieren und klar zu machen was ich falsch gemacht habe. Danke für eine hilfreiche Erklärung.

Mein Ergebnis:(Foto 1 im Heft)

Lösungen:(schwarz gedruckte) bsp(742)a

Answer 1

Dein Normalenvektor ist (-1 ; -9 ; -1) steht nicht auf beiden AB und AC senkrecht.

Du kannst das mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen, das gäbe ( 6 ; 0 ; -6) .

und wenn du damit weiterrechnest und am Ende alles durch 6 teilst,

 stimmt es auch.

Answer 2

Du hast den Normalenvektor falsch berechnet. Es ist

$$\begin{pmatrix} 1\\ -3\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\ -3\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\cdot -1 - (1 \cdot -3)\\ 1 \cdot -1 - (1 \cdot -1)\\ 1 \cdot -3 - (-3 \cdot -1) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6\\ 0\\ -6 \end{pmatrix}$$

und da es nur auf die Richtung und nicht auf den Betrag des Vektors ankommt, kann man das ganze durch 6 teilen. 6 ist der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten.

Hier hast Du das ganze in 3D.

Gruß Werner

Answer 3

Wenn ihr das Vektorprodukt in der Schule noch nicht hattet:  Wir suchen einen Normalenvektor, der auf AB und AC senkrecht steht.  Das führt auf zwei Gleichungen:
(n₁, n₂, n₃) * (1, -3, 1) = 0
(n₁, n₂, n₃) * (-1, -3, -1) = 0
Daraus kannst du n₁, n₂ und n₃ bestimmen.