Was genau ist das Epsilon Kriterium und was unterscheidet diese beiden Beweise?

Question

und zwar bin ich gerade sehr verwirrt. In meiner Seminararbeit muss ich unter Anderem auch auf den Beweis von Konvergenz bei Folgen eingehen. Nun bin ich auf einiges gestoßen, nur verwirrt mich das alles sehr.

Und zwar sagen die einen ein Beweis geht so:

(f_i)=_i∈ℕ,f=1/i     Für alle i≥N:  |f_i - g| = |f_i - 0| = 1/i ≤ 1/N ≤ ε   --> 1/ε < N , wobei g der Grenzwert ist.

Die anderen sagen wiederrum, dass ein Beweis so geht:

(f_i)=_i∈ℕ,f=1/i    Für alle i≥N: |f_i - g| = |f_i - 0| = 1/i < ε  --> 1/ε < i  , man muss 1/ε nur geeignet aufrunden um die Bedingung zu erfüllen.

Ist das beides nun das ε - Kriterium oder ist das beides was verschiedenes? Und wenn ja wie genau funktioniert das erste, weil das 2. scheint mir relativ einleuchtend. Beim 1. aber verstehe ich dann nicht wieso auf einmal 1/i ≤ 1/N ≤ ε gilt.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen wäre super nett :D

LG

Answer 1

Die Def. heißt doch:

Es gibt ein N , so dass für alle   i≥N gilt  :   |f_i - g| <

Im ersten Beweis wird gezeigt:  Wenn man N > 1/ε  wählt, ist das erfüllt.

Wobei nur die Formulierung "wenn man wählt" fehlt

Beim zweiten Beweis ist es noch etwas schlampiger gesagt,

da steckt das "wenn man wählt" in dem

"man muss 1/ε nur geeignet aufrunden um die Bedingung zu erfüllen."

In beiden Fällen hätte m.E. dazugehört:

Nach dem Axiom des Archimedes gibt es ein N mit   N > 1/ε ,

wenn man ein solches wählt, ist die Bedingung aus der Def. erfüllt.