Epsilon Kriterium Konvergenz

Question

Hallo.

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht auf den ansatz beziehungsweise weiss nicht wie ich hier vorzugehen habe.

Sei ε > 0. Ich soll ein Nε  ∈ ℕ berechnen, so dass ∀ n ∈ ℕ mit n > Nε folgendes gilt:

$$\left| \frac { 2{ n }^{ 2 }-2 }{ { n }^{ 2 }+3 } -2 \right| <\varepsilon $$

Vielen Dank

Answer 1

Wegen

(2n²  - 2) : (n² + 3)  =  2 - 8 / (n² + 3)

 2x^2  + 6

 —————————

       - 8

gilt :

| (2n²  - 2) / (n² + 3) - 2 |  < ∈    ⇔ | 2 - 8 / (n² + 3) - 2 |  ⇔ | - 8 / (n² + 3) |  < ∈

⇔  8 / (n² + 3) < ∈   ⇔  n² >  8/ε -  3   

1. Fall: ε < 8/3

             ⇔_ℕ   n > √(8/ε -  3)  

      Für N_ε kann man also die nächste natürliche Zahl nehmen, die ≥ √(8/ε -  3)  ist

2. Fall: ε ≥ 8/3   Wähle  N_ε = 1

Gruß Wolfgang

Comments

Erstmal vielen Dank für die ausfürhliche Antwort.
Ich habe es soweit nachgerechnet und konnte es auch nachvollziehen.
Nur wie habe ich das Ergebnis jetzt zu interpretieren?
Was ist im 1.Fall die nächste natürliche Zahl die größer gleich √(8/ε -  3) ist?

---

z.B. für ε=1/100   →  n >  √(8/(1/100)  -  3)  ≈ 28,2   →  N_ε = 29