0 Daumen
732 Aufrufe

Hallo.

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht auf den ansatz beziehungsweise weiss nicht wie ich hier vorzugehen habe.

Sei ε > 0. Ich soll ein Nε  ∈ ℕ berechnen, so dass ∀ n ∈ ℕ mit n > Nε folgendes gilt:

$$\left| \frac { 2{ n }^{ 2 }-2 }{ { n }^{ 2 }+3 } -2 \right| <\varepsilon $$

Vielen Dank 

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Wegen

(2n2  - 2) : (n2 + 3)  =  2 - 8 / (n2 + 3)   

 2x^2  + 6

 —————————

       - 8

gilt :

| (2n2  - 2) / (n2 + 3) - 2 |  < ∈    ⇔ | 2 - 8 / (n2 + 3) - 2 |  ⇔ | - 8 / (n2 + 3) |  < ∈  

⇔  8 / (n2 + 3) < ∈   ⇔  n2 >  8/ε -  3   

1. Fall: ε < 8/3    

             ⇔   n > √(8/ε -  3)  

      Für Nε kann man also die nächste natürliche Zahl nehmen, die ≥ √(8/ε -  3)  ist

2. Fall: ε ≥ 8/3   Wähle  Nε = 1 

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

Erstmal vielen Dank für die ausfürhliche Antwort.
Ich habe es soweit nachgerechnet und konnte es auch nachvollziehen.
Nur wie habe ich das Ergebnis jetzt zu interpretieren?
Was ist im 1.Fall die nächste natürliche Zahl die größer gleich √(8/ε -  3) ist?

z.B. für ε=1/100   →  n >  √(8/(1/100)  -  3)  ≈ 28,2   →  Nε = 29

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community