Epsilon Kriterium bei | 1/y - 1/y0 | < Eps und | y - y0 | < min(......)

Question

Ist y₀  ≠ 0 und ist | y - y₀ | < min (|y₀| / 2 , eps |y₀|² / 2 )

dann ist y ≠ 0 und es gilt | 1/y - 1/y₀ | < Eps

stimmt der anfang so und irgendwas oder mehreres oder vielleicht auch alles (? : D) muss falsch sein weil ich bei der abschätzung des betrags von |y| nochmal verkleinert habe damit am ende epsilon steht... : (

$$\left| \frac { 1 }{ y } \quad -\quad \frac { 1 }{ { y }_{ 0 } }  \right| \quad =\quad \frac { |y\quad -\quad { y }_{ 0 }| }{ \left| y \right| \quad *\quad \left| { y }_{ 0 } \right|  } \quad <\quad \frac { min\left( \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad ,\quad \frac { { \epsilon \left| { y }_{ 0 } \right|  }^{ 2 } }{ 2 }  \right)  }{ \left| y \right| \quad *\quad \left| { y }_{ 0 } \right|  } \\ \\ \\ =\quad \frac { \frac { { \epsilon \left| { y }_{ 0 } \right|  }^{ 2 } }{ 2 }  }{ \left| y \right| \quad *\quad \left| { y }_{ 0 } \right|  } \quad =\quad \frac { { \epsilon \left| { y }_{ 0 } \right|  }^{ 2 } }{ 2\left| y \right| *\left| { y }_{ 0 } \right|  } \quad =\quad \frac { \epsilon  }{ 2 } \quad *\quad \frac { { |y }_{ 0 }| }{ |y| } \quad \\(mit\quad Bemerkung\quad dass\quad dann\quad y\quad \quad \neq \quad 0\\ gilt)\quad \\ <\quad \quad  \frac { \epsilon  }{ 2 } \quad *\quad \frac { { |y }_{ 0 }| }{ { y }_{ 0 }\quad +\quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 }  } \quad \\ \\ =\quad \frac { \epsilon }{ 2 } \quad *\quad \frac { { |y }_{ 0 }| }{ |{ y }_{ 0 }|\quad +\quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 }  } \quad =\quad \frac { \epsilon  }{ 2 } \quad *\frac { { |y }_{ 0 }| }{ \frac { 2{ |y }_{ 0 }| }{ 2 } \quad -\quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 }  } \quad =\quad \frac { \epsilon  }{ 2 } \quad *\quad \frac { { |y }_{ 0 }| }{ \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad  } \\ \\ =\quad \frac { \epsilon  }{ 2 } \quad *\quad \frac { { 2|y }_{ 0 }| }{ \left| { y }_{ 0 } \right| \quad  } \quad =\quad 2\quad *\quad \frac { \epsilon  }{ 2 } \quad =\quad \epsilon \\ \\ ----------------------------------------------------------\\ \left|y \right| \quad =\quad \left| y\quad -\quad y_{ 0 }\quad +\quad { y }_{ 0 }\quad  \right| \quad \le \quad \left| y\quad -\quad { y }_{ 0 } \right| \quad +\quad \left| { y }_{ 0 } \right| \quad \le \quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad +\quad |{ y }_{ 0 }|\quad <\quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad -\quad |{ y }_{ 0 }|\\ \\ \\ \\ \\ \\ $$

Comments

die letzten zwei pluszeichen vor der strichlinie sollen minus sein...

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ich glaube das müsste ungefähr die lösung sein hoffe ich und dann brauche ich keine antwort mehr ...

$$ \left| \frac { 1 }{ y } \quad -\quad \frac { 1 }{ { y }_{ 0 } }  \right| \quad =\quad \frac { |y\quad -\quad { y }_{ 0 }| }{ \left| y \right| \quad *\quad \left| { y }_{ 0 } \right|  } \quad <\quad \frac { min\left( \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad ,\quad \frac { { \epsilon \left| { y }_{ 0 } \right|  }^{ 2 } }{ 2 }  \right)  }{ \left| y \right| \quad *\quad \left| { y }_{ 0 } \right|  } \\ \\ \\ =\quad \frac { \frac { { \epsilon \left| { y }_{ 0 } \right|  }^{ 2 } }{ 2 }  }{ \left| y \right| \quad *\quad \left| { y }_{ 0 } \right|  } \quad =\quad \frac { { \epsilon \left| { y }_{ 0 } \right|  }^{ 2 } }{ 2\left| y \right| *\left| { y }_{ 0 } \right|  } \quad =\quad \frac { \epsilon  }{ 2 } \quad *\quad \frac { { |y }_{ 0 }| }{ |y| } \quad \\ (mit\quad Bemerkung\quad dass\quad dann\quad y\quad \quad \neq \quad 0\quad gilt)\quad \\ <\quad \quad \frac { \epsilon  }{ 2 } \quad *\quad \frac { 2\left| { y } \right|  }{ \left| { y } \right|  } \quad =\quad \epsilon \\ \\ \\ ----------------------------------------------------------\\ \left| { y }_{ 0 } \right| \quad =\quad \left| y\quad -\quad { y }_{ 0 } \right| \quad +\quad \left| { y } \right| \quad <\quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad +\quad \left| { y } \right| \quad \\ \rightarrow \quad \left| { y }_{ 0 } \right| \quad <\quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad +\quad \left| { y } \right| \quad \quad \leftrightarrow \quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad <\quad \left| { y } \right| \\ \\ \rightarrow \quad \left| { y }_{ 0 } \right| \quad =\quad \left| y\quad -\quad { y }_{ 0 } \right| \quad +\quad \left| { y } \right| \quad <\quad \frac { \left| { y }_{ 0 } \right|  }{ 2 } \quad +\quad \left| { y } \right| \quad <\quad \left| { y } \right| \quad +\quad \left| { y } \right| \quad =\quad 2\left| { y } \right| \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\  $$

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Versuchst Du, eine fremde Lösung nachzurechnen, oder woher hast Du \(\delta=\min\left(|y_0|/2,\epsilon|y_0|^2/2\right)\) ?

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wie meinst du das das war doch schon vorgegeben?

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Also das ist eine Originalaufgabe und es geht nur um Nachrechnen? Dann kann man das auch viel schoener aufschreiben. Laut Vorgabe gelten die beiden Ungleichungen $$(1)\qquad|y-y_0|<|y_0|/2$$ und $$(2)\qquad|y-y_0|<\epsilon|y_0|^2/2.$$ Aus (1) folgt $$(1')\qquad|y|>|y_0|/2.$$ Damit kommt man mit $$\left|\frac{1}{y}-\frac{1}{y_0}\right|=\frac{|y-y_0|}{|y||y_0|}<\frac{2}{|y_0|^2}|y-y_0|<\epsilon$$ in zwei simplen Schritten zum Ergebnis, indem man zuerst (1') und dann (2) anwendet.

Bei Dir stehen nur langatmige und teils konfuse Rechnungen, bei denen man sich selber zusammenreimen muss, was eigentlich gemacht wird. Wenn ich richtig gereimt habe, dann laeuft es aber auf dasselbe hinaus.

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nein ich hatte eine ähnliche aufgabe schon wo zwei folgen mit grenzwert waren die multipliziert wurden und das wollte ich auf diese anwenden , und  mit dem nachrechnen da frage ich nicht extra nochmal hier . danke für deine antwort: ) ich habe noch eine frage gestellt da habe ich einen lösungsweg zwar schon aber ich habe noch einen zweiten mir ausgedacht : D könntest du mir zu der frage eine auskunft geben?

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ok das hat sich schon erledigt mit der anderen frage!