Grenzwert, der Funktion f(x,y) = (x*|y|) / (x^2+y^2)^0.5 im Punkt (0,0) (Epsilon-Delta-Kriterium)

Question

f(x,y) = (x*|y|) / (x²+y²)^0.5   für (x,y) ≠ (0,0)

         = 0 für (x,y) = (0,0)

Um zu zeigen, dass der Grenzwert der Funktion in (0,0) existiert muss man die Funktion mit dem Epsilon-Delta-Kriterium abschätzen.

Sei ε>0 ,δ:=ε  ∀(x,y) mit 0<||x,y||<δ , ||x,y||=(x²+y²)^0.5

Daraus folgt:  |f(x,y) - f(0,0)| =| | x*|y|| / (x²+y²)^0.5 | = |x|*|y| / (x²+y²)^0.5 = (|x|*|y| * (x²+y²)^0.5 ) /  (x²+y²) < (|x|*|y| * δ) / (x²+y²) = ε

⇔ δ = ε * (x²+y²) / |x|*|y|

Stimmt diese Abschätzung?

Comments

Nein. Dein \(\delta\) darf nur von \(\epsilon\) abhaengen, wenn die Stelle (wie hier) schon fest gewaehlt ist.

Verwende einfach \(|x|\le\lVert(x,y)\rVert\) und \(|y|\le\lVert(x,y)\rVert\). Dann folgt \(|f(x,y)-f(0,0)|\le\lVert(x,y)\rVert\) und Du kannst \(\delta=\epsilon\) nehmen.

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Meinst du also:

(|x|*|y| * (x²+y²)^0.5 ) /  (x²+y²) ≤  ||x,y||* ||x,y||* ||x,y||  ?