Stetigkeit mit Epsilon-Delta-Kriterium in einem bestimmten Punkt.

Question

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ich muss für die Uni eine Aufgabe rechnen, in der ich eine Funktion mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums auf Stetigkeit in einem Punkt untersuchen muss:

Aufgabe:

Man zeichne die durch

$$ g(x)\quad =\quad \left\{ \begin{matrix} { x }^{ 2 }+2x+3\quad für\quad x\quad <\quad -1 \\ 2\quad für\quad x\quad >=\quad -1 \end{matrix} \right\}  $$

gegebene Funktion und untersuche mit Hilfe des ε-δ-Kriteriums, ob sie in x₀=-1 stetig ist.

Habe leider keine Ahnung wie ich an die Aufgabe ran gehe und den Epsilon-Delta Beweis anwende.

Comments

Edit: Habe es mal als mögliche Antwort gepostet

Answer 1

Ich bin mir nicht sicher,ob du einfach den Epsilon-Delta Beweis für x0= -1 von x^2+2x+3 machen kannst.
Und anschließend für f(x) = 2  und anschließend sagen kannst, dass man in beiden Fällen Delta gleich wählen kann. In meiner Rechnung bekomme ich für den ersten Teil : d = min(1, e+2)

Beim zweiten Teil kann man es genauso legen. Weiß aber wie gesagt nicht ,ob das reicht.Zumindest kann man somit zeigen, dass beide Teile der Funktion stetig sind.

Falls das nicht reicht muss nach noch ergänzen

Stetig ist die Funktion in dem Punkt -1 , da beide Teile für x-> -1 gegen 2 laufen und die Ableitungen für x-> -1 beide gegen 0 laufen.

Kann dir aber nicht versichern ,dass das so 100%ig stimmt.

Comments

Das klingt ja schonmal ganz gut! Ich habe leider den Beweis noch nicht so ganz verstanden, deshalb weiß ich nicht genau wie man auf das δ kommt. Könntest du das eventuell auch nochmal erklären?

Aber Vielen Dank auf jeden Fall schonmal  

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Ja,die Rechnung habe ich ja auch komplett weg gelassen.

Epsilon-Delta im allgemeinen verstehst du ,aber?
Ich dachte es geht nur darum,dass die Funktion in zwei Teile aufgeteilt ist.

Ich mache mal den Anfang. Zu zeigen ist:

|x+1| < d  => |f(x)-f(-1) | < e

|f(x)-f(-1) | = |x^2+2x+3-2| =|x^2 +2x+1| = |(x+1)^2|  < d^2 < e

Ich habe für bei meinem Delta oben einen Rechenfehler gehabt, deswegen unterscheidet sich das Delta hier mit dem aus dem Beitrag oben.

Das selbe machst du jetzt noch mit der Funktion  2 .

Das was du danach noch machen musst bekommst du bestimmt selber hin.