Stetigkeit von 1/x mit Epsilon-Delta-Kriterium auf R \ {0}

Question

ich verstehe das Grundprinzip des Epsilon-Delta-Kriteriums und wie man grundsätzlich Funktionen abschätzen kann. Beim Beweis der Stetigkeit der Funktion f(x)=1/x im Definitionsbereich R ohne null komme ich jedoch ab einem gewissen Punkt nicht weiter.

Mein Vorgehen: An jeder Stelle x₀ versuchen Stetigkeit zu zeigen. Dazu nehmen |f(x)-f(x₀)| und formen ihn um auf:

$$\frac { |x-x_{0}| }{ |x*x_{0}| }  $$

Das ist offensichtlich nach Vorgaben des Epsilon Delta Kriteriums kleiner gleich

$$\frac { δ }{ |x*x_{0}| }  $$

Im Internet habe ich dazu schon vieles gesehen und häufig wurde danach δ wie folgt gesetzt:

$$δ=\frac { x_{0} }{ 2 }  $$

Die Idee dahinter ist wohl, dass der Unterschied zwischen x und x₀ nicht so extrem ausartet und somit eine Abschätzung leichter wird. Nur so ganz habe ich das nicht verstanden und wie man so einen Schritt irgendwie begründen könnte.

Mein eigener Ansatz wäre gewesen |x| einmal für alle Werte größer oder gleich 1 zu betrachten, wobei der Beweis relativ einfach wäre, da das x im Nenner den Nenner auf jeden Fall größer macht (oder bleibt gleich) und somit kann der ganze Bruch abgeschätzt werden. Das Problem an diesem Ansatz ist nur, dass ich keine Abschätzung für |x| kleiner gleich 1 finde.

Ich verstehe wie gesagt einfach nicht wie ich nach

$$\frac { δ }{ |x*x_{0}| }  $$

den Term weiter Abschätzen soll, sodass ich das Epsilon-Delta-Kriterium für alle reellen Zahlen ohne Null als Definitionsbereich beweisen kann.

Answer 1

\(\delta=x_0/2\) kann ja nur falsch sein, denn von \(\varepsilon\) wird das \(\delta\) ja wohl auch abhaengen muessen. Du hast bei der Aufgabe zwei Dinge zu beachten: 1) Das \(x\) muss weit genug von der Null wegbleiben. 2) \(|x-x_0|\) muss offensichtlich klein genug gewaehlt werden, damit eben \(|x-x_0|/|xx_0|\) kleiner als das vorgelegte \(\varepsilon\) wird. Um Punkt 1) kannst Du Dich z.B. mit der Forderung \(|x|>|x_0|/2\) kuemmern. Dann kannst Du mit \(|x-x_0|/|xx_0|<2|x-x_0|/x_0^2\stackrel{!}{<}\varepsilon\) weitermachen.

Comments

Das klingt jetzt schon fast einfacher als ich dachte, bzw. hoffe ich, dass ich es jetzt verstanden habe.

Nach deinem Schritt 2) würde ich erstmal das Epsilon weglassen und erst mit dem Delta weiter abschätzen:

$$\frac { 2|x-x_{0}|}{ x^{2}_{0}} ≤\frac { 2δ}{ x^{2}_{0}}≤ε$$

(wir haben immer ≤ε verwendet, das sollte passen und macht die ganze Sache einfacher)

Da wir dann kleiner gleich haben, können wir doch ein Delta berechnen indem wir die Ungleichung genau an der Stelle betrachten, an der sie gleich ist:

$$\frac { 2δ}{ x^{2}_{0}}=ε$$

Somit bekommen wir für δ immer einen Wert im Definitionsbereich, sodass Epsilon größer ist als der Abstand der y Werte f(x)-f(x₀)

Hab ich mir das jetzt zu einfach gemacht oder passt das so?

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Vorgegeben sind \(x_0\) und \(\varepsilon\). Ein passendes \(\delta\) sollst Du angeben und nicht irgendwo einsetzen. Wir haben zwei Sachen. Unsere Forderung \(|x|>|x_0|/2\) und die damit gewonnene Ungleichung \(|x-x_0|<\varepsilon x_0^2/2\). Beides zusammen erlaubt, das gewuenschte \(|1/x-1/x_0|<\varepsilon\) zu erschliessen. Jetzt gib ein \(\delta\) so an, dass aus \(|x-x_0|<\delta\) sowohl \(|x|>|x_0|/2\) als auch \(|x-x_0|<\varepsilon x_0^2/2\) folgt.

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Wäre das nicht sehr kompliziert? Ich hab da jetzt lang drüber nachgedacht, wie ich die drei Ungleichungen zueinander bringe, aber allein das zusammenbringen der ersten Beiden bräuchte mehrere Fallunterscheidungen ob x und x₀ positiv/ negativ sind und die letzte Ungleichung ist gar nicht mit der ersten groß in Verbindung zu bringen weil auf beiden Seiten die Linke Seite gleich ist und ein "<" Zeichen dasteht.

Die einzige Aussage die zu Delta dann bleibt ist |x−x0|<δ, aber das ist ja nichts neues...

Entschuldige, falls ich mich jetzt wieder noch dümmer anstelle. Ich verstehe es wenn du irgendwann keine Lust mehr hast da weiter zu erklären...

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Weil aus \(|x-x_0|<\delta\) ja \(|x-x_0|<\varepsilon x_0^2/2\) folgen soll, muss schon mal \(\delta\le\varepsilon x_0^2/2\) sein. Ueberlege Dir halt noch, welche Bedingung an das \(\delta\) gestellt werden muss, damit auch \(|x|>|x_0|/2\) aus \(|x-x_0|<\delta\) folgt. Mach z.B. eine Skizze dazu.

Answer 2

Hallo

 immer wenn in der Gegend einer Stelle die Stetigkeit immer "schlechter" wird, man also ein immer kleineres δ zu gegebenem ε braucht, -hier bei 0-,nimmt man erstmal ein Delta zwischen der kritischen Stelle und der betrachteten Stelle. je näher an 0 du die Stetigkeit zeigen willst desto kleiner muss man delta wählen, um von 0 wegzubleiben. x0/2 ist da eine gute Möglichkeit du kannst aber auch einen anderen Bruchteil von x₀ wählen. Im weiteren kann man dann das Minimumum aud x0/2 und einem aus  epsilon berechneten delta nehmen.

Gruß lul