Aufgabe:
Wir sollen den Grenzwert einer Funktion, mithilfe des Epsilon-Delta Kriteriums beweisen:
Text erkannt:
$$ \lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{x^{2}+x-6}=\frac{1}{5} $$
Wir stellen zunächst fest, dass für alle \( x \) des Definitionsbereiches unserer Funktion \( \frac{x-2}{x^{2}+x-6}= \) \( \frac{1}{x+3} \) gilt. Gegeben sei nun ein \( \varepsilon>0 . \) Um unsere Behauptung zu zeigen, müssen wir ein \( \delta>0 \) bestimmen, so dass \( \frac{1}{x+3}-\frac{1}{5} \mid<\varepsilon \) für alle \( x \neq 2 \) mit \( |x-2|<\delta \) gilt. O.B.d.A. sei \( \varepsilon<\frac{1}{5} \). Wir setzen \( \delta=\frac{5 \varepsilon}{\varepsilon+\frac{1}{5}} \)
Es sei \( |x-2|<\delta . \) Im Fall \( x<2 \) folgt \( 2-x<\frac{5 \varepsilon}{\varepsilon+\frac{1}{5}}=5-\frac{1}{\varepsilon+\frac{1}{5}} \) und daraus \( \left|\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5}<\varepsilon \)
Im Fall \( x>2 \) folgt \( x-2<\frac{5 \varepsilon}{\varepsilon+\frac{1}{5}} \leqslant \frac{5 \varepsilon}{\frac{1}{5}-\varepsilon}=\frac{1}{\frac{1}{5}-\varepsilon}-5 \) und daraus \( \left|\frac{1}{x+3}-\frac{1}{5}\right|=\frac{1}{5}-\frac{1}{x+3}<\varepsilon \)
Kann mir jemand erklären wie man auf das epsilon bzw. delta kommen soll?
Vielen Dank!
