Epsilon Delta Kriterium Grenzwerte von Funktionen

Question

Kann mir eventuell jemand erklären wie man beim Epsilon-delta Kriterium für Funktionen auf das entsprechende delta bzw. epsilon kommt?

Ich meine folgendes Kriterium:

Für jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0 gibt, so dass |f(x)−c| < ε für jedes x ≠ a mit |a−x| < δ
gilt. c heißt dann der Grenzwert von f an der Stelle a.

Answer 1

Für jedes ε > 0

Auf das ε kommt man überhaupt nicht. Man muss ja sicherstellen, dass

              gibt es ein δ > 0, so dass |f(x)−c| < ε für jedes x ≠ a mit |a−x| < δ

für jedes ε > 0 gilt.

gibt es ein δ > 0

Hier darfst du dir eines aussuchen. Ansatz dafür ist, die Ungleichung

        |f(x)−c| < ε

in die Form

        |a−x| < δ

umzuformen.

Beispiel. \(f(x) = 2x + 5, a = 3\).

Ich vermute, dass \(c = 11\) sein muss.

Sei \(\varepsilon > 0\). Dann gilt

        \(|f(x) - c| < \varepsilon\)

genau dann, wenn

        \(|2\cdot x + 5 - 11| < \varepsilon\)

ist, also wenn

      \(|2·x - 6| < \varepsilon\).

Diese Ungleichung nach x aufgelöst ergibt

        \(\begin{aligned} &  & \left|2x-6\right| & <\varepsilon\\ & \iff & 2x-6 & \in\left(-\varepsilon,\varepsilon\right)\\ & \iff & 2x & \in\left(-\varepsilon+6,\varepsilon+6\right)\\ & \iff & x & \in\left(-\frac{\varepsilon}{2}+3,\frac{\varepsilon}{2}+3\right)\\ & \iff & x-3 & \in\left(-\frac{\varepsilon}{2},\frac{\varepsilon}{2}\right)\\ & \iff & \left|x-3\right| & <\frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}\)

Also sucht man sich \(\delta = \frac{\varepsilon}{2}\) aus.

Answer 2

Um diese Methode wirklich zu erlernen, musst du mit ganz konkreten Aufgabenstellungen (gegebene Funktionen und gezielte Fragestellungen) arbeiten. Es gibt keine allgemeine Lösungsmethode für beliebige Aufgabenstellungen in diesem Umkreis, welche so quasi "im luftleeren Raum" funktioniert.