Grenzwert einer Reihe zeigen mit Epsilon-Kriterium beweisen, wie ?

Question

ich hoffe, dass ich euch mit dieser vermutlich banalen Frage nicht störe...

Ich bearbeite im Moment eine Aufgabe, in der es darum geht, den Grenzwert einer Folge mit dem Epsilon-Beweis zu zeigen. 

Die Aufgabe lautet:

Zugegeben, ich habe diese Frage schon in einem anderem Forum gestellt. Aber da antwortet seit Tagen keiner...deswegen habe ich einfach ein Screenshot davon hier gepostet.

Ist der Beweis so richtig, oder darf auf der rechten Seite der Ungleichung kein n stehen?

Ich bin mir echt unsicher.

Viel mehr Probleme habe ich aber bei der zweiten Folge:

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt!

Ich bedanke mich an jeden, der sich meiner Frage widmen wird. 

Lg

Dome

 

Comments

Tipp:  \(\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac k{n^2}=\frac1{n^2}\cdot\sum_{k=1}^n k=\frac1{n^2}\cdot\frac12n(n+1)=\frac{n+1}{2n}\).

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Achso! Danke für deine schnelle Antwort!

Also sollte man jede Reihe in eine bereits bekannte Formel umschreiben ? Weil mit diesem Summenzeichen zu rechnen, kann ziemlich aufwendig sein.

Ich versuche die Aufgabe jetzt erneut und melde mich, falls ich weitere Fragen habe!

LG

Dome

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Tipp2:  \(\displaystyle\left\vert\frac{9n^2+4n-3}{3n^2+2}-3\right\vert=\left\vert\frac{9n^2+4n-3-3(3n^2+2)}{3n^2+2}\right\vert=\left\vert\frac{4n-9}{3n^2+2}\right\vert<\frac{6n}{3n^2}=\frac2n\).

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Erst mal danke für den zweiten Tipp. Ich habe meiner Rechnung gesehen, dass ich am Ende das "n" nicht vollständig auf einer Seite bringen kann...  Das kann nur mit Abschätzung klappen, so wie du es bei Tipp 2 auch gemacht hast.

Aber ich habe ein Verständnisproblem bei  Abschätzen, weshalb ich das nie mache. Warum darf man abschätzen und was genau schätzt man da ab?

Also $$\left| \frac { (4n-9) }{ { 3n }^{ 2 }\quad +\quad 2 } \quad  \right| $$ ist ja der Abstand von der Folge zum Grenzwert, halt nur zusammengefasst. Aber ich verstehe dann einfach nicht, warum man abschätzen darf ? Also von

$$\left| \frac { (4n-9) }{ { 3n }^{ 2 }\quad +\quad 2 } \quad  \right| $$  zu
$$\left| \frac { (6n) }{ { 3n }^{ 2 } } \quad  \right| $$

????

Was schätzt man da genau ab? Einen kleineren Abstand, eine Folge oder was ? Ich habe mir gestern den Kopf daran zerbrochen, weil ich einfach nicht draufkomme..

Kannst du mir das bitte erklären...? :/

Denn, wenn ich das einmal verstanden habe, werde ich da viel weniger Probleme bekommen.

Freue mich auf deine Rückmeldung!

Answer 1

Zu 1)  Du vermutest richtig: Auf der rechten Seite darf kein n vorkommen.

Deshalb verwende besser Tipp2.

Comments

Danke, mathef! Das habe ich mir irgendwie gedacht. Aber warum das so ist, weiß ich nicht genau. Im Internet verstehe ich das auch nicht so richtig, warum man darf nicht darf (wikibooks).

kannst du es mir bitte erklären ?

Lg

Dome

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Ist noch jemand da ?