Das epsilon delta Kriterium beweisen

Question

Aufgabe:

Sei \( D \subseteq \mathbb{R} \) und \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \) eine Funktion. Beweisen Sie Satz 4.7.21 der Vorlesung mit Hilfe der folgenden Schritte:

(a) Sei \( x_{0} \in D \), sodass für jedes \( \varepsilon>0 \) ein \( \delta>0 \) existiert, mit der Eigenschaft

\( \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon \quad \text { für alle } x \in D \text { mit }\left|x-x_{0}\right|<\delta \text {. } \)

Zeigen Sie, dass dann für jede Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) in \( D \) mit \( a_{n} \rightarrow x_{0} \) für \( n \rightarrow \infty \) gilt

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=f\left(x_{0}\right) \)

Satz 4.7.21 ist das epsilon-delta-Kriterium.

Meine Frage ist nun wie ich mit dem Beweis anfangen soll.

Man hat ja für den Anfang die Folge und mit der kann man ja nur z.B. lim |a_n - x₀| = 0 zeigen.

Comments

Du musst hier im grunde nur ein bisschen mit der Definition der Konvergenz von Folgen rumspielen. Wiederhole diese am besten erstmal für dich selbst.

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Also reicht es einfach zu sagen:

Es gilt |f(a_n) - f(x₀)| < ε für alle n, somit konvergiert die Folge gegen f(x₀)?

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Nein tut es nicht. Das mit dem "für alle n" stimmt schon mal gar nicht für alle epsilon.

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Okay also dann so:

Da a_n -> x₀ gilt für alle δ mit |a_n - x₀| < δ für alle n >= n₀

Damit gilt dann auch |f(a_n) - f(x₀)| < ε für alle n >= n₀

Answer 1

du hast es fast geschafft, als kleine Berichtigung:

Da a_n -> x₀ gilt für alle δ>0 existiert ein n₀  mit |a_n - x₀| < δ für alle n >= n₀

Damit gilt dann auch für alle  ε>0 existiert ein n₀    |f(a_n) - f(x₀)| < ε für alle n >= n₀ 

Das letzte ist dann ja nix anderes als die Definition, dass \( f(a_n) \to f(x_0)\) für \(n  \to \infty \).

und a) wäre gezeigt

Gruß