Fläche von Teilen des Kreises. Wie weit muss der Winkel α in der Figur sein, damit beide Flächen gleich groß sind?

Question

Aufgabe:

a) Wie weit muss der Winkel α in der rechten Figur jeweils sein, damit die beiden markierten Flächen jeweils gleich groß sind?

b) Erfinde ähnliche Aufgaben wie in a).

Comments

In der Figur rechts gibt es keine zwei verschieden markierte Flächen. Wahrscheinlich sind die beiden Figuren rechts gemeint?

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3.Figur
links
das untere weiße Dreieck hat den Winkel
tan beta = (a/3 )/ a =1/3
beta = 18.435 °

Die Hypotenuse ist
h = √ ( a^2 + (a/3)^2 )
h = a * 1.054

h ist auch der Radius des Teilkreises
Der Winkel ist
90 - 2 * 18.435 = 53.13 °

Fläche
r^2 * π * 53.13 / 360
( a * 1.054 ) ^2  * π * 53.13 / 360

rechts
( a/2 ) ^2 * π * ∝ / 360

( a * 1.054 ) ^2  * π * 53.13 / 360
  = ( a/2 ) ^2 * π * ∝ / 360

α = 236.09 °

Answer 1

r ^2 * π / 2 = ( 3*r ) ^2 * α / 360
r ^2 * π / 2 = 9 * r^2 * π * α / 360
1 / 2 = 9 * α / 360
α  = 20 °

Comments

links : Quadrat minus Viertelkreis

a^2 - a^2 * π / 4

rechts

a^2 * π  * α / 360

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Georg, ich glaube, du hast rechts und links verwechselt? Nein! Jetzt sehe ich, was gemeint ist. Gegeben sind drei Paare von Figuren. Die mit gleicher Farbe markierten Flächen sollen gleichgroß sein.

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3.Figur
links
das untere weiße Dreieck hat den Winkel
tan beta = (a/3 )/ a =1/3
beta = 18.435 °

Die Hypotenuse ist
h = √ ( a^2 + (a/3)^2 )
h = a * 1.054

h ist auch der Radius des Teilkreises
Der Winkel ist
90 - 2 * 18.435 = 53.13 °

Fläche
r^2 * π * 53.13 / 360
( a * 1.054 ) ^2  * π * 53.13 / 360

rechts
( a/2 ) ^2 * π * ∝ / 360

( a * 1.054 ) ^2  * π * 53.13 / 360
  = ( a/2 ) ^2 * π * ∝ / 360

α = 236.09 °

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Ich habe noch ein paar Fragen

Erstens bei der zweiten Figur hab a²-a⁴*pi²/4=Alpha

Ich weiß jetzt nicht wie ich auf den Winkel Alpha kommen soll

Wie geht das?

Und bei der 3. Figur ich verstehe nicht, wie du die ersten beiden Schritte gemacht hast

Also die mit der Hypotenuse und den tan beta.

Ich verstehe nicht wie du darauf kommst und wie man das berechnen kann

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links
a² - a² * π / 4

rechts
a² * π  * α / 360

a² - a² * π / 4 = a² * π  * α / 360
a² * ( 1 - π / 4 ) = a² * ( π  * α / 360) | : a^2
1 - π / 4  = π  * α / 360
α = ( 1 -  π / 4 ) * 360 / π
α = 24.59 °

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3.)
Habt ich schon Trigonometrie / Winkelfunktionen
gehabt ?
Pythagoras auch ?

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Ja hatten wir schon aber bei dieser Aufgabe könnte ich das alles nicht wirklich anwenden

Doch jetzt hab ich es ja zum Glück bestanden

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Ich habe noch eine Frage

Und zwar wieso hast du die Hypotenuse wie oben berechnet

Weil ich würde sie mit dem Sinus oder cosinussatz berechnen und die Art wie du es berechnet hast besteht ich irgendwie nicht

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In Figur 3 habe ich die Hypotenuse mit dem
Pythagoras berechnet da die beiden Katheten
bekannt sind.
Zur Kontrolle kannst du ja einmal mit sin rechnen.

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Ich habe noch eine letzte Frage

Könntest du mir vielleicht erklären wie du auf h = a * 1.054 gekommen bist, da wenn ich Versuche es auszurechnen kommt immer nur etwas seltsa raus.

Ich verstehe nicht wie du das gerechnet hast. Könntest du es mir vielleicht erklären?

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Unten rechts ist ein weißes rechtwinkliges
Dreieck zu sehen.
Kathete 1 : a
Kathete 2 : a/3
Hypotenuse : mit h bezeichnet

Pythagoras

h ^2 = a ^2 + (a/3) ^2
h ^2 = a^2 + a^ / 9 = 9 / 9 * a^2 + 1 / 9 * a^2
h ^2 = 10 / 9 * a^2   | Wurzel
h = √ (  10 / 9 * a^2 )
h = a * √ (  10 / 9 )
h = a * 1.054

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Entschuldige, aber wie kommst du von 9 / 9 * a² + 1 / 9 * a²  auf 10 / 9 * a²  ? Ich verstehe es nicht wie du es geschafft hast das nur ein a^2 dann steht

Weil es sind ja eigentlich zwei gewesen. Wie hast du das geschafft?

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9 Äpfel und 2 Äpfel = ( 9 + 2 ) Äpfel = 11 Äpfel

 9 / 9 * a² + 1 / 9 * a²  =
( 9 / 9 + 1 / 9 ) * a^2 =
10 / 9 * a²