Verständnisfrage Linearkombination von Vektoren und linear unabhängig?

Question

Heißt es wenn man eine Linearkombination eines Vektors darstellen kann, sind diese Vektoren linear abhängig, und wenn nicht dann lin.unabh ?

Answer 1

Heißt es wenn man eine Linearkombination eines Vektors darstellen kann, sind diese Vektoren linear abhängig, und wenn nicht dann lin.unabh ?

Richtig. mit u, v und w als Vektoren gibt es bei Abhängigkeit.

a * u + b * v + c * w = 0

eine Lösung außer der Triviallösung a = b = c = 0

Comments

Super vielen lieben Dank! :-) & heißt es zb a kann 0 sein oder a & b kann 0 sein aber a,b,c darf nicht null sein damit sie lin.abh sind gell? Und was mich noch verwirrt ist, dass im internet steht, "wenn zwei Vektoren parallel zueinander sind, dann sind sie linear abhängig, und wenn sie nicht parallel zu einander sind, dann sind sie linear unabhängig."  Was ich ja verstehe, also dass sie parallel sein müssen, doch diese Aussage irritiert micj etwas "Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie komplanar sind.

"  doch komplanar heißt doch, dass sie in einer Ebene liegen & müssen diese dann auch nicht parallel sein? Bin total verwirrt

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Tut mir leid wegen dem fett gedruckten , das war ich nicht :D

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Nimm die Vektoren

[0, 1] ; [1, 1] ; [1, 0]

Diese sind sicher nicht parallel liegen aber trotzdem in einer Ebene. Daher sind sie komplanar und linear abhängig.

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Drei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie komplanar sind.

Zwei linear unabhängige Vektoren spannen eine Ebene auf.

Drei linear unabhängige Vektoren im Raum R^3 spannen den ganzen Raum R^3 auf.

so weit einverstanden? EDIT(will euch jetzt nicht nochmals unterbrechen daher gleich hier weiter): Dann können nicht alle drei linear unabhängigen Vektoren parallel zur gleichen Ebene im Raum sein.

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Ja bin ich :-)

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Aber trotzdem also die sind ja dann nicht parallel  :-/

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Achsooo also heißt das, dass sie sozusagen ein dreieck bilden die 3 vektoren(lin.abh), aber das in einer Ebene, sodass sie nicht den kompletten raum aufspannen? Aber diese sind dann auch nicht parallel zueinander habe ich es richtig aufgegriffen?

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Und diese sind dann parallel aber zur ebene aber untereinander nicht? Und bei 2 vektoren sind die, wenn sie lin.abh sind dann auch parallel zueinander gell?

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Ja. Das hast du jetzt richtig verstanden.