Lineare Unabhängigkeit von Vektoren geometrisch betrachten, Verständnisfrage

Question

Aufgabe:

Lineare Abhängigkeit, bzw. Unabhängigkeit von 3 Vektoren im Vektorraum R³ untersuchen. Untersuchen sie die Vektoren A =\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) , B = \( \begin{pmatrix} -2\\2\\1 \end{pmatrix} \) und C = \( \begin{pmatrix} 3\\-1\\1 \end{pmatrix} \) auf lineare Abhängigkeit.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Nullvektor als Linearkombination der 3 Vektoren dargestellt (\( \vec{o} \) = r₁*A+r₂*B+r₃*C ) und das daraus entstehende LGS aufgelöst. Als Lösung kommt r₁=r₂=r₃=0 als einzige Lösung des LGS, weshalb die drei Vektoren linear unbhängig sind. Wenn ich mir diese Vektoren aber darstellen lasse und mit dem Endpunkten von ihnen eine Ebene bilden, liegen alle Vektoren in der Ebene. Das würde doch heißen, dass sie linear abhängig sind, oder nicht?  Ich verstehe nicht wie sie linear unabhängig sein können und trotzdem in einer Ebene liegen können.

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=vektor(0%7C0%7C0%201%7C2%7C3)%0Avektor(0%7C0%7C0%20-2%7C2%7C1)%0Avektor(0%7C0%7C0%203%7C-1%7C1)%0Apunkt(1%7C2%7C3%20%22A%22)%0Apunkt(-2%7C2%7C1%20%22B%22)%0Apunkt(3%7C-1%7C1%20%22C%22)%0Aebene(1%7C2%7C3%20-2%7C2%7C1%203%7C-1%7C1)

Answer 1

und mit dem Endpunkten von ihnen eine Ebene bilde

Für 3 beliebige Punkte gibt es immer (mindestens) eine Ebene, in der alle drei Punkte liegen.

Deswegen liegen doch die Vektoren selbst nicht unbedingt in dieser Ebene!

Comments

Die Vektoren liegen in diesem Fall aber auch alle in einer Ebene. Daher meine Frage...

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Nein, sie liegen nur beinahe in einer Ebene.

Bildet man das Spatprodukt, ist das Ergebnis NICHT 0.

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Achso danke, ich habe da wohl nicht genau genug geschaut

Answer 2

Die Determinante aus den drei Velktoren ist gleich 1. D.h. die Vektoren sind linear abhängig. Sie spannen einen Spat auf, der allerdings sehr flach ist. Daher wirkt es in der Grafik, als ob sie in einer Ebene liegen.