Lineare Unabhängigkeit, Vektoren

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Vektoren auf lineare Unabhängigkeit in \( \mathrm{C}^{2} \) als C-Vektorraum bzw. als \( \mathbb{R} \) -

$$ v_{1}=\left(\begin{array}{c} {1+i} \\ {-3+3 i} \end{array}\right) \quad \text { und } \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c} {1+3 i} \\ {-9+3 i} \end{array}\right) $$

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich mit dem LGS arbeiten muss bin aber nicht wirklich weit damit gekommen.

Answer 1

Hallo,

stelle das Gleichungssystem auf (die zweite Gleichung habe ich direkt durch 3 geteilt), wobei wir erstmal der Fall K=C betrachten, da allgemeiner.

$$a*v_1+b*v_2=0\\ \left| \begin{pmatrix} a*(1+i)+b*(1+3i)=0\\a*(-1+i)+b*(-3+i)=0 \end{pmatrix}\right|I+II\\ \left| \begin{pmatrix} a*(2i)+b*(-2+4i)=0\\a*(-1+i)+b*(-3+i)=0 \end{pmatrix}\right|I:2\\ \left| \begin{pmatrix} a*(i)+b*(-1+2i)=0\\a*(-1+i)+b*(-3+i)=0 \end{pmatrix}\right|$$

Nimm nun die erste Gleichung und stelle sie nach a um:

$$a*(i)+b*(-1+2i)=0\\a=b(+1-2i)/i=b*(-i)*(+1-2i)=b(-2-i)$$

Setze b nun in die zweite Gleichung ein:

$$b(-2-i)*(-1+i)+b*(-3+i)=0\\b*[3-i-3+i]=0$$

Das ist eine wahre Aussage.

Also hat das Gleichungssystem die Lösungen:

b=b beliebig, a=b(-2-i) , die Vekttoren sind für K=C linear abhängig. Für K=R wären sie es auch, wenn die bereits gefunden Lösungen auch rein reelle Gestalt (ungleich 0) annehmen können. Es müsste also b ∈ R sein, dann ist aber b*(-2-i) keine reelle Zahl. Daher im Falle K=R linear unabhängig.