Lineare Unabhängigkeit / Vektoren

Question

Die Aufgabenstellung lautet:

a) "Bitte beschreiben Sie, was der Begriff "Lineare Unabhängigkeit" dreier Vektoren im ℝ³ mit der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu tun hat!

Meine Antwort:

"Ein Lineares Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar wenn seine Koefizientenvektoren linear unabhängig sind."
Ist diese Aussage ausreichend?

b) Überprüfen Sie  \( \vec{a} \) =  \( \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \), \( \vec{b} \)= \( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \) und  \( \vec{c} \) = \( \begin{pmatrix} –5\\2\\2 \end{pmatrix} \) auf lineare Unabhängigkeit!

Meine Antwort: ...

Damsel in distress! Ich bin mir eigentlich überhaupt nicht ganz sicher was ich machen muss... Soll ich die Vektoren in ein Matrix zusammen machen und dann das Gauß–Algorithmus Schema anwenden??

Könnte mir jemanden die benötigten Schritte zum lösen erklären? 

Ich freue mich schon auf alle Antworten :) Vielen

Answer 1

b)

Berechne die Determinante der Koeffizientenmatrix

DET([1, 2, -5; 2, 1, 2; 1, 1, 2]) = -9 ≠ 0

Damit sind die Vektoren linear unabhängig.

Alternativ

Prüfe ob

r·[1, 2, 1] + s·[2, 1, 1] + t·[-5, 2, 2] = [0, 0, 0]

nur die Triviallösung r = s= t = 0 besitzt. Da das der Fall ist sind die Vektoren linear unabhängig.

Comments

Das mit der Triviallösung habe ich aber nicht verstanden.. Wie rechne ich dass r = s= t = 0?

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Wende das Gaussverfahren auf das Gleichugngssystem an.

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\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & –5 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 2 & 0\end{pmatrix} \)  (I) * 2 – (II) und (I) – (III)  ergibt dann:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & –5 & 0 \\ 0 & 3 & –12 & 0\\ 0 & 1 & –7 & 0\end{pmatrix} \) (III)*3 – (II)

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & –5 & 0 \\ 0 & 3 & –12 & 0\\ 0 & 0 & –9 & 0\end{pmatrix} \)

Ist das richtig?

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Ich denke ja. Und daraus ergibt sich, dass als Lösungen nur \( r = s = t = 0 \) in Frage kommt.

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Ach So! Vielen vielen Dank :)))!

Answer 2

a) Ausreichend beantwortet

b) Zeige z.B. dass sich einer der Vektoren aus den anderen beiden anderen linear kombinieren lässt.