Gerade aus zwei Punkten bestimmen. Bestimmen von Nullstelle und Schnittwinkel.

Question

Hallo ihr Lieben nochmal irgendwie kriege ich das mit der Lineare Funktion nicht hin. Diesmal bin ich leicht verwirrt.  so viele Sachen auf einmal :O HILFE
Die Aufgabe lautet:

Die Gerade g geht durch die Punkte A und B. Zeichne g und ermittle eine Gleichung für g. Bestimme den Steigungswinkel und den Schnittpunkt mit der x-Achse.
a) A(1/2), B(5/4)

b) A(-1,5/3), B(4/4,5)
Ich würde mich wirklich sehr freuen wenn mir das jemand erklärt.
 <3

Answer 1

erstens: Zeichne die beiden Punkte und ziehe schön ordentlich eine Gerade durch (hierfür kann man zum Beispiel ein Lineal verwenden).

Eine lineare Funktion sieht immer so aus: f(x) = mx + n.

Der Anstieg ergibt sich aus

m = (A_y - B_y) / (A_x - B_x).

Das Absolutglied ergibt sich aus

n = A_y - m*A_x.

Fertig.

MfG

Mister

Answer 2

Hi,

Du kannst eine Gerade bestimmen, indem Du Dir die allgemeine Geradengleichung vor Augen führst:

y=mx+b

Da nun die Punkte einsetzen:

2=m+b

4=5m+b

Nach b auflösen und gleichsetzen:

2-m = 4-5m   |+5m-2

4m = 2

m=1/2


Damit in Gleichung 1: 2=1/2+b -> b=1,5

Die Gerade g lautet also g: y=0,5x+1,5

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ->

0=0,5x+1,5 |-1,5

-1,5 = 0,5x

x=-3

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist bei N(-3|0) zu finden.

Der Schnittwinkel ergibt sich über

arctan(0,5) = 26,57°


b)

y=mx+b ist wieder Grundlage:

3=-1,5m+b

4,5=4m+b

Nach b auflösen und gleichsetzen:

3+1,5m = 4,5-4m   |+4m-3

5,5m = 1,5

m=3/11

Damit in Gleichung 2:

4,5 = 4*3/11 + b -> b = 75/22


Also y=3/11*x+75/22


Schnittpunkt mit der x-Achse:

0=3/11*x+75/22   |-75/22

-75/22 = 3/11*x    |*22

-75 = 6x

x=-75/6 = -25/2


Der Schnittpunkt ist also bei N(-25/2|0) zu finden. Die Steigung ist arctan(m) = 15,26°


Alles klar?

Grüße

Comments

ich kenne dieses arctan nicht :/

---

Eventuell kennst Du das unter tan^{-1} wie es auf dem Taschenrechner zu finden ist ;).

Answer 3

Hi Lea, 

 

a) g geht durch A (1|2) und B (5|4)

Die Gleichung für eine Gerade lautet

y = mx + b

oder f(x) = f' (x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

Um den Anstieg m (= f'(x₀)) von g zu ermitteln, dividierst Du die "y-Differenz" durch die "x-Differenz" (Steigungsdreieck): 

m = (4 - 2) / (5 - 1) = 2/4 = 1/2

Nehmen wir als x₀ den Punkt A, so erhalten wir insgesamt: 

f(x) = g = 1/2 * (x - 1) + 2

Das könnte man natürlich noch vereinfachen zu f(x) = g = 1/2 * x + 1,5

Schnittpunkt S mit der x-Achse: f(x) = 0 setzen 

1/2 * (x - 1) + 2 = 0

1/2 * x - 1/2 + 2 = 0

1/2 * x = -1,5

x = -3

S = (-3|0)

 

b) g geht durch A (-1,5|3) und B (4|4,5)

wird genauso gerechnet

f(x) = g = (4,5 - 3)/(4 + 1,5) * (x + 1,5) + 3

g = 3/11 * (x + 1,5) + 3

g = 3/11 * x + 75/22

3/11 * x + 75/22 = 0

3/11 * x = -75/22

x = -75/22*11/3 = -12,5

S = (-12,5|0)

 

Besten Gruß

Comments

Jetzt bei a) wieso ist die gleichung einmal f(x) = g = 1/2 * x + 1,5 und dann statt 1,5 --> 2 

---

Die Gleichung heißt 

f(x) = g = 1/2 * x + 1,5

Das war ja nur eine vereinfachte Form von 

f(x) = g = 1/2 * (x - 1) + 2

Ich habe jetzt einfach Blau = 0 gesetzt: 

1/2 * (x - 1) + 2 = 0

1/2 * x - 1/2 + 2 = 0

1/2 * x = - 2 + 1/2 = -1,5

x = -3

Hätte ich es mit der vereinfachten roten Form berechnet, wäre das Gleiche herausgekommen:

1/2 * x + 1,5 = 0

1/2 * x = -1,5

x = -3

 

Ich hätte von Anfang an die vereinfachte rote Form nutzen sollen; so habe ich Dich nur verwirrt -

Sorry :-) 

---

ich hab das also jetzt richtig verstanden, dass ich beide Gleichungen nehmen kann nur Rot ist einfacher? 

:) ich finde es sehr nett und bin auch sehr dankbar das mir das jemand überhaupt erklären kann also vielen Dank

---

Genauso ist es Lea; freue mich, wenn ich Dir ein wenig helfen konnte :-)

---

Ich versteh aber ehrlich gesagt nicht wie ich auf b überhaupt komme

---

Ganz genauso wie auf a:

A (-1,5|3), B (4|4,5)

 

g = mx + b

ist das Gleiche wie 

g(x) = f'(x₀)*(x - x₀) + f(x₀)

 

Wir setzen ein: Der Anstieg/die Steigung m ist (Differenz der y-Werte)/(Differenz der x-Werte), also:

(4,5 - 3) / (4 + 1,5) = 3/11

Nehmen wir A (-1,5|3) als unseren Ansatzpunkt (x₀|f(x₀)) der Geraden g,

so ist doch x₀ = -1,5 und f(x₀) = 3

Und jetzt setzen wir einfach alles in g(x) ein (nur das blanke x bleibt unverändert stehen):

g(x) = 3/11 * (x + 1,5) + 3

Und jetzt kannst Du diese Form oder die vereinfachte Form 

g(x) = 3/11 * x + 75/22

gleich Null setzen und hast dann die Schnittstelle x mit der x-Achse. Der Schnittpunkt ist dann 

(x|0)

weil der y-Wert im Schnittpunkt mit der x-Achse natürlich = 0 ist :-)

---

ach so und auf den Steigungswinkel komme ich nur wenn ich es zeichne?

und Was heißt eigentlich orthogonal ?

---

Orthogonal heißt senkrecht aufeinander; so ist zum Beispiel die x-Achse orthogonal zur y-Achse. 

Nein, zeichnen musst Du nicht unbedingt: 

Wir hatten rechnerisch herausgefunden, dass der Anstieg 3/11 war; das heißt, wir gehen 11 Stellen nach rechts und nur 3 Stellen nach oben (ziemlich flacher Anstieg). 

(Ein Anstieg im Winkel von 45° würde bedeuten, wir gehen eine Stelle nach rechts und eine Stelle nach oben, also 1/1 = 100%. Deshalb bedeutet ein Anstieg in einem Winkel von 45° auch: 100% Steigung.)

Nun, wo wir wissen, dass der Anstieg 3/11 ist, aber noch den passenden Winkel dazu brauchen, tippen wir in den Taschenrechner ein:

tan^-1(3/11) =

und wir erhalten als Lösung (gerundet)

15,26° 

- Wenn Du das für das Beispiel 100% mal durchspielen möchtest: 

tan^-1(1) = ????

---

Irgendwie verstehe ich das mit der Steigung nicht jetzt z.b meine nächste Aufgabe lautet:

Berechne die Steigung einer Geraden, die zu der Geraden durch A und B orthogonal ist.

a) A(6/3) B (8/6)

Entschuldigung, wenn ich gerade bisschen schwierig bin, aber irgendwie will das nicht in mein kopf rein

---

Hier eine kleine Skizze (nicht maßstabsgetreu!):

Wie komme ich von A nach B?

Ich gehe 8-6=2 Stellen nach rechts und 6-3=3 Stellen nach oben. Diese "Bewegung nach oben" teilt man durch die "Bewegung nach rechts"

Also Anstieg m = 3/2

Das ist es, was ich als "y-Differenz / x-Differenz" bezeichnet hatte.

Die rot eingezeichnete Gerade steht senkrecht auf der Geraden, die durch A und B gilt. 

Wenn Du den Anstieg für die Gerade durch A und B gefunden hast (hier also 3/2), dann bekommst Du den Anstieg einer hierzu orthogonalen (senkrechten) Gerade ganz einfach, indem Du den negativen Kehrwert nimmst, also statt 3/2

-2/3.

Das kann man sich so klar machen: 

Wenn die eine Gerade ansteigt, dann muss die dazu orthogonale Gerade absteigen und umgekehrt. 

Ebenso: Wenn die eine Gerade steil ist, dann muss die dazu orthogonale Gerade flach sein. 

Bilde einfach mal aus 2 Stiften ein Kreuz (zwei zueinander senkrecht stehende Geraden) und mache es Dir so deutlich :-)

---

So langsam Blicke ich durch.  Das heißt die Steigung liegt bei -2/3 oder?

Und wie kann ich rechnerisch Untersuchen ob 3 Punkte auf einer geraden liegen.

also z.B
A(-1,5/0,5), B(2/2), C (3,5/2,5)


Ich hoffe ich nerve Sie nicht.

---

Hi Lea, 

Du nervst mich nicht :-)

Die Steigung der Orthogonalen beträgt -2/3, ganz richtig!

Um zu überprüfen, ob 3 Punkte auf einer Geraden liegen, kannst Du entweder

a) mithilfe zweier Punkte die Geradengleichung aufstellen, dann die Koordinaten des 3. Punktes einsetzen und sehen, ob es passt. 

b) oder einfach die Steigung zwischen den ersten beiden Punkten berechnen und sehen, ob man mit dieser Steigung vom 2. Punkt zum 3. Punkt kommt. 

Machen wir beides mal mit Deinen Beispielwerten A (-1,5|0,5), B (2|2), C (3,5|2,5)

 

a) Geradengleichung

f(x) = f'(x₀) * (x - x₀) + f(x₀)

f'(x₀) = (2-0,5)/(2+1,5) = 1,5/3,5 = 3/7

x₀ = -1,5

f(x₀) = 0,5

Also lautet die Geradengleichung der Geraden durch A und B

f(x) = 3/7 * (x + 1,5) + 0,5 = 3/7x + 4,5/7 + 0,5*7/7 = 3/7 * x + 8/7

Probe für A:

f(-1,5) = 3/7 * (-1,5) + 8/7 = 0,5 | stimmt

Probe für B:

f(2) = 3/7 * 2 + 8/7 = 2 | stimmt

Probe für C:

f(3,5) = 3/7 * 3,5 + 8/7 ≈ 2,64 | stimmt nicht, C liegt also nicht auf dieser Geraden

 

b) Nur mit Steigung arbeiten

Steigung zwischen A und B: 

(2 - 0,5) / (2 + 1,5) = (3/7)

Frage ist jetzt: Kann man irgendein Vielfaches oder einen Teil von 3/7 an B ansetzen, um zu C zu kommen?

x-Koordinate von B und C verwenden: 

2 + r * 3 = 3,5

r * 3 = 3,5 - 2 = 1,5

r = 0,5

Wenn man also 0,5 * 3 ansetzt, kommt man von der x-Koordinate von B zur x-Koordinate von C:

2 + 0,5 * 3 = 3,5

Jetzt müssen wir überprüfen, ob wir, wenn wir dasselbe r = 0,5 einsetzen, auch von der y-Koordinate von B zur y-Koordinate von C kommen: 

2 + 0,5 * 7 = 2,5

2 + 3,5 = 2,5

5,5 = 2,5

Das ist offensichtlich unwahr, deshalb können wir nicht mit dem Anstieg zwischen A und B weiter nach C gelangen: C liegt nicht mit A und B auf einer Geraden!

Besten Gruß wie immer :-)