Gleiche Funktion-einmal Vorzeichen ausmultipliziert und einmal nicht- trotzdem gleiche NST bei Mitternachtsformel

Question

ich habe eine Frage zur Mitternachtsformel...

Betrachtet man einen Zähler einer gebrochen-rationalen Fkt:

-x² -2x+8 => Nullstellen sind x= -4, x=2

selbe Fkt, aber Vorzeichen ausmultipliziert: -(x² +2x-8) => Nullstellen sind x= -4, x=2

fällt auf, dass beide die selben NST besitzen, obwohl sie ein unterschiedliches Vorzeichen besitzen, was bedeuten würde,

dass er unterschiedliche Zähler besitzt:

Entweder -((x+4)(x-2)) oder (x+4)(x-2)...

Was ist hier richtig..?

Danke schön!

Answer 1

f ( x ) = -x² -2x+8

Durch Multiplikation mit -1 wird das Vorzeichen der
Funktionswerte umgedreht.

- f ( x ) = - ( -x² -2x+8 )

Die Nullstellen bleiben dieselben.
Hat f ( x ) den Funktionwert 0
dann hat - ( f ( x ) ) ebenfalls den
Funktionswert 0 * (-1) = 0.

Comments

Ja, ich habe die Frage im Titel nicht gut formuliert:

Es ist beides der gleiche Zähler einer Fkt, nur habe ich einmal -1 aus der Klammer ausmultipliziert...a)  -(x² +2x-8)
b)   -x² -2x+8
Sie haben beide die selben NST, was aber heißen würde, dass die Zähler sich unterscheiden:Entweder -((x+4)(x-2)) oder (x+4)(x-2)...

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Stelle einmal die Orginalfrage ein oder in welchem
Zusammenhang du die Operationen
durchführen willst ein.

Willst die Teilung durch 0 bzw. die Polstellen
ermitteln.

Die Ausgangsfrage wäre von Nutzen.

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Ich will die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion ermitteln, um diese Fkt zu vereinfachen f(x)= (-x² -2x +8)/ (2-x) =0

Ich betrachte aber nur den Zähler...:

Lösungsweg 1:

(-x² -2x +8)=0

Verwende die Mitternachtsformel und erhalte x=2 und x=-4

Bilde dann eine vereinfachte Fkt:

((x+4)(x-2))/(2-x)

Lösungsweg 1:

-1(x² +2x -8)=0

Verwende die Mitternachtsformel und erhalte x=2 und x=-4

Bilde dann eine vereinfachte Fkt:

-1((x+4)(x-2))/(2-x)

Welcher Weg ist korrekt?

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f ( x ) = (-x² -2x + 8 ) / (2-x )
D = ℝ \ { 2 }

Lösungsweg 1.
(-x² -2x +8) wird zu
( x + 4 ) ( x-2 )
Probe durch ausmultiplizieren
x^2 + 2x -8
stimmt also nicht

Lösungsweg 2.
(-x² -2x +8) wird zu
( -x - 4 ) ( x-2 )
Probe durch ausmultiplizieren
-x^2 - 2x + 8
stimmt

[ ( -x - 4 ) * ( x -2 ) ] / ( 2 - x )

[ ( -x - 4 ) * (-1) ( 2 - x ) ] / ( 2 - x )
-1 * ( -x - 4 )
x + 4

Im angegebenen Def-Bereich
kann die Funktion
f ( x ) = (-x² -2x + 8 ) / (2-x )
durch
f ( x ) = x + 4
ersetzt werden.

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Gern geschehen.
Die Nullstelle ist
x + 4 = 0
x = -4
N ( -4 | 0 )

Answer 2

Zwei verschiedene Funktionen können duchaus dieselben Nullstellen besitzen. Die ist insbesondere in diesem Fall richtig. Beachte auch, dass eine Multiplikation eines Funktionsterms mit \(-1\) einer Spiegelung des Graphen an der x-Achse entspricht. Warum sollten sich dabei die Nullstellen ändern?

Comments

Danke, das war mir bewusst..

Es ergeben sich, aber leider 2 verschiedene Zähler für meine gebrochen-rationale Funktion...

Entweder -((x+4)(x-2)) oder (x+4)(x-2)...

Das macht ja einen erheblichen unterschied für meine Fkt....

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Wie schon gesagt, unterscheiden sich die Funktionsgraphen ganz erheblich, nur eben nicht an den Nullstellen, da die Schnittpunkte mit der x-Achse genau die Fixpunkte der Spiegelung an der x-Achse sind.

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Falls deine Frage sich aber auf diese beiden Funktionen bezieht:

a)  -(x² +2x-8)

b)   -x² -2x+8

so sind sie identisch, denn beide Terme sind gleichwertig, da der eine jeweils in den anderen umgeformt werden kann.

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Okay, aber welcher der Zähler wäre denn jetzt richtig?

[ Zähler -((x+4)(x-2)) oder Zähler (x+4)(x-2) ]
Es sollte ja  kein Unterschied machen, ob ich zuerst -1 ausklammer und dann in die Mitternachtsformel einsetze, oder nur in die Mitternachtsformel einsetze...Danke dir.

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Diese beiden Terme sind nicht gleichwertig. Es gilt

(1) -((x+4)(x-2))  ≠  (x+4)(x-2)  bzw.

(2) -(x² + 2x - 8)  =  -x² - 2x + 8.

Worum geht es denn ursprünglich?

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Genau das ist mein Problem :D

Ich will die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion ermitteln, um diese Fkt zu vereinfachen f(x)= (-x² -2x +8)/ (2-x) =0

Ich betrachte aber nur den Zähler...:

Lösungsweg 1:

(-x² -2x +8)=0 

Verwende die Mitternachtsformel und erhalte x=2 und x=-4

Bilde dann eine vereinfachte Fkt:

((x+4)(x-2))/(2-x)

Lösungsweg 1:

-1(x² +2x -8)=0 

Verwende die Mitternachtsformel und erhalte x=2 und x=-4

Bilde dann eine vereinfachte Fkt:

-1((x+4)(x-2))/(2-x)

Welcher Weg ist korrekt?

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In deiner ersten Variante fehlt im Zähler der Faktor \((-1)\). Das ist für die Nullstellen zwar bedeutungslos, für alles anderen Stellen aber nicht.

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Wenn Du den Zähler = 0 setzt, dann sind beide Rechenwege korrekt.

Nur darfst Du die -1, die Du ausgeklammert hast und die nach Division durch -1 verschwindet nicht auf einmal in den Zähler der Funktion zurückversetzen.

Deine Lösung (x+4)(x-2) =  -x² -2x +8 = -1(x² +2x -8= \( { \neq -(x+4)(x-2) } \)

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Man könnte auch zuerst den ursprünglichen Funtionsterm mit \((-1)\) erweitern. Das macht es ein wenig übersichtlicher...