Zeigen Sie, dass die beiden Zahlen u und (u+1)^k teilerfremd sind.

Question

Vollständige Aufgabenstellung:

Sei u ∈ IN . Zeigen Sie, dass für alle k ∈ IN die beiden Zahlen u und (u + 1)^k teilerfremd sind.

Meine Ansätze bisher gehen in folgende Richtung:

ggT((u+1)^kk, u)=1 bzw. a*(u+1)^k + b*u = 1

Als InduktionsVoraussetzung nehme ich an v=u und es gilt

ggT((v+1)^k, v)=1 bzw. a*(v+1)^k + b*v = 1 

Ich beweise dann für u=v+1 , also:

ggT(((v+1)+1)^k, v)=1 bzw. a*((v+1)+1))^k + b*(v+1) = 1 

Damit habe ich die Gleichungen

 1:  a₁*(v+1)^k + b₁*v = 1 

 2:  a₂*((v+1)+1))^k + b₂*(v+1) = 1 

Beide Gleichungen miteinander multipliziert ergeben auch 1

Geht diese Herangehensweise in die richtige Richtung oder hab ich etwas übersehen? Darf ich eigentlich ((v+1)+1)^k in (v+2)^k umformen oder spricht etwas dagegen?

Answer 1

u ≡ 0 mod u

u+1≡1 mod u

(u+1)^k≡1 mod u

Wenn u in der Kongruenzklasse 0 liegt, dann liegt (u+1)^k in der Kongruenzlasse 1.

Answer 2

Wie waere es mit \(\operatorname{ggT}((u+1)^k,u)=\operatorname{ggT}(u, (u+1)^k\operatorname{mod}u)\) und der Binomialformel?