Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass ein Säugling wirklich diese Stoffwechselkrankheit hat?

Question

Zur Früherkennung einer Stoffwechselkrankheit bei Säuglingen wurde eine neue Untersuchungsmethode entwickelt. Bei Anwendung dieser Methode wird in 0,01% aller Fälle eine vorliegende Stoffwechselkrankheit nicht entdeckt, während sie in 0,1% aller Fälle irrtümlich eine Krankheit anzeigt. Durchschnittlich haben bei 1,1 Millionen Geburten 100 Säuglinge diese Stoffwechselkrankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein als krank diagnostizierter Säugling wirklich diese Stoffwechselkrankheit hat?

Mein Lösungsansatz:

gegeben: nicht entdeckte Fälle 0,01%
                  irrtümlich entdeckte Fälle 0,1% = 0,1/100 daraus folgt tatsächlich krank 99,9% = 99,9/100
                  1100000 Geburten -> 100 krank, daraus folgt 11000 Geburten -> 1 krank, Wahrscheinlichkeit dass eine                           Krankheit die Untersuchung anschlägt beträgt also 1/11000 = 0,000091%

gesucht: Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein krank diagnostizierter Säugling die Krankheit wirklich hat, also P_D(K)
                 Hierbei gilt D = Diagnostiziert, D = nicht Diagnostiziert, K = tatsächlich krank, K = irrtümliche Diagnose 

P_D(K) = (P(K∩D))/(P(D))          P(D) = 1/11000, P(K∩D) = (99,9/100)×(1/11000)

P_D(K) = (99,9/100)×(1/11000)/(1/11000)


Ich weiß nicht wo der Fehler in meiner Lösung ist, jedenfalls schicke ich die Lösung des Mathe Buchs im Anhang mal mit.
Ich verstehe z.B. nicht warum man in der Lösung im ersten Schritt (1/11000)×0,9999=P(K∩D) rechnet, warum 4 neunen?
99,9/100 sind doch 0,999 nicht 0,9999.
Außerdem verstehe ich nicht warum man P(D∩K) ausrechnen sollte und  P(D∩K) mit P(K∩D) addieren sollte, die Wahrscheinlichkeit das die Untersuchung überhaupt anschlägt beträgt doch 1/11000 und ist somit gegeben.
Und im zweiten Schritt der Lösung wird für P(D) anstelle von 1/11000 (=0,000091) einfach 0,99991 benutzt.

Würde mich über einen Lösungsweg freuen der leichter Nachvollziehbar ist als das was in den Lösungen des Buchs steht, umso ausführlicher desto besser :) 

Danke im vor raus

Das ist die Lösung aus dem Buch

Answer 1

Ich hätte folgende Lösung:

P(erkrankt) = 100/1100000 = 1/11000

P(erkrankt | positiv) = 1/11000·(1 - 0.0001)/(1/11000·(1 - 0.0001) + (1 - 1/11000)·0.001) = 9999/119989 = 0.08333263882

Comments

Okay dass P(erkrankt | positiv) die Lösung ist leuchtet mir jetzt auch ein.
Aber, warum errechnet man P(erkrankt | positiv) so wie Sie es getan haben?
Gibt es eine generelle Formel um P(X∩Y) zu errechnen? 

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P(A ∩ B) = P(A) * P(B | A)

Ich habe das wie folgt gerechnet. Du kannst die Ausdrücke meiner Rechnung entnehmen.

P(erkrankt | positiv) = P(erkrankt ∩ positiv) / P(positiv)

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Sorry das ich nochmal nachfrage ich habe eine Doppelstunde gefehlt,
Wo genau ist der Unterschied zwischen P(A∩B) und P(A|B) ? 
Ich hatte angenommen dass dies das gleiche ist und wie kommt man dann auf P(A|B) ? 

Sorry für die Umstände

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P(A | B) Ist die Wahrscheinlichkeit das A eintritt wenn man weiß das B eingetreten war. Das ist die Bedingte Wahrscheinlichkeit. Manchmal wird die auch P(A | B) = PB(A) geschrieben.

P(A ∩ B) ist die Wahrscheinlichkeit das A und B eintreten.

Zeichne dir zum Säuglingsproblem zum einen mal ein Baumdiagramm auf und zum anderen eine Vierfeldertafel. Bekommst du das alleine hin?

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Okay danke! Soweit Verstanden hatte einen Denkfehler ich wollte P(A|K) ausrechnen und nicht P(K|A) 

Answer 2

P(K|A)  = P(K∩A) / P(A)

= (1/11000 * 0,9999) / (1/11000 * 0,9999 + 10999/11000 * 0,001)

≈ 0.08333  ≈  8,33 %

P(A) ist die Summe der Produkte bei den Pfaden, die zu A führen.

P(K∩A) = P(K) * P(A|K), also der Pfad ganz links.

Gruß Wolfgang

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Okay danke! Soweit Verstanden hatte einen Denkfehler ich wollte P(A|K) ausrechnen und nicht P(K|A)