Viele physikalische Gesetze sind simple Proportionalitaeten. Z.B. Weg = Geschwindigkeit · Zeit, \(s=v\cdot t\), oder Arbeit = Kraft · Weg, \(W=F\cdot s\). Das funktioniert aber nicht mehr so recht, wenn der "Proportionalitaetsfaktor" (in den Beispielen \(v\) bzw. \(F\)) gar keine Konstante ist, sondern von der zweiten Groesse (\(t\) bzw. \(s\)) abhaengt. Dann kann man sich immer noch auf das Prinzip "Im Kleinen ist alles linear" berufen und z.B. sagen: Fuer kleinste Zeitintervalle \(dt\) und die in ihnen zurueckgelegten Strecken \(ds\) gilt die urspruengliche Proportionalitaet trotzdem, \(ds=v(t)\,dt\) (aber natuerlich für jeden Zeitpunkt \(t\) eine andere). Num muss man bloss noch diese vielen Kleinststrecken \(ds\) im gewuenschten Gesamtzeitintervall \([t_1,t_2]\) zum Endergebnis "aufsummieren", also integrieren: $$s=\int_{t_1}^{t_2}ds=\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt.$$ Daran sieht man auch, wie der Integralwert seine Dimension bekommt; es ist das Produkt der Dimension des Integranden und der Dimension der Groessen im Integrationsintervall.
Das andere Beispiel (Verrichtete Arbeit beim Ziehen an einer Feder etwa) koenntest Du mal selber probieren.
Bei Deinen Beispiel kommt nichts Sinvolles raus, denn das Produkt aus Weg und Zeit hat keine physikalische Bedeutung.
