Integration rationaler Funktionen

Question

Hey Leute! Ich habe zur Zeit riesen schwierigkeiten mit Analyses und komme mit Google leider auch nicht weiter... Deswegen schreibe ich hier. Über eine Antwort die nachvollziehbare Schritte beinhaltet, würde ich mich freuen, da ich so eventuell meinen Gedankenblitz kriege und das Thema verstehe! Vielen Dank!

Aufgabe:

Problem 1: Integration rationaler Funktionen

Berechnen Sie die folgenden Integrale bzw. Stammfunktionen.

(a) $\int\limits_{2}^{3}$ $\frac{1}{x^2-1}$dx

(b) $\int\limits_{}^{}$ $\frac{-x^3+4x-10}{x^2-x-6}$dx

(c) $\int\limits_{}^{}$ $\frac{1-sin(x)}{cos^2(x)}$dx

Problem/Ansatz:

Der Aufgabenteil (a) ist ja relativ einfach zu bestimmen. Aber bei größeren Funktionen wird schwierig. Hier soll ich nun die Stammfunktionen bestimmen. Als Tipp wurde gegeben, Substitution durchzuführen um den Integranden in eine rationale Funktion umzutransformieren. Woher weiß ich denn, welchen Wert ich substituiere ( in dem Falle (a) ja den ganzen Zähler oder ?) und was ich nehme, um zu substituieren zu können? Ich habe da oft den falschen Ansatz gehabt. Ich versuche oft klein-schrittig zu gehen, um später meine Rechnung nachvollziehen zu können. falls wieder Fragen entstehen könnten. Über so eine Hilfe und Erklärung würde ich mich freuen!

Comments

mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

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Bei (a) und (b) sollst du vermutlich eine Partialbruchzerlegung durchführen. Bei (b) zusätzlich vorher noch eine Polynomdivision vornehmen, dass der Grad des Nennerpolynoms größer als der des Zählerpolynoms wird.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Bei allen 3 Aufgaben geht es darum, zuerst den Integranden in leicht integrierbare Summanden zu zerlegen und anschließend erst zu integrieren.

Integral von (a)

$$f_a(x)=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac12\cdot\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac12\cdot\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$$$\phantom{f_a(x)}=\frac12\left(\frac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)}{(x-1)(x+1)}\right)=\frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$$

Damit lautet das Integral:$$I_a=\int\limits_2^3f_a(x)\,dx=\frac12\left[\left(\ln|x-1|-\ln|x+1|\right)\right]_2^3=\frac12\left((\ln2-\ln4)-(\ln1-\ln3)\right)$$$$\phantom{I_a}=\frac12\left(\ln3+\ln2-\underbrace{2\ln2}_{=\ln4}\right)\pink{=\frac{\ln3-\ln2}{2}}$$

Integral von (b)

Der Patient hier hat direkt 2 Beschwerden, die das Integrieren erschweren:$$f_b(x)=\frac{-x^3+4x-10}{x^2-x-6}$$

(1) Zum Integrieren haben wir gern den Grad des Zählerpolynoms kleiner als den Grad des Nennerpolynoms. Daher führen wir eine Polynomdivision mit Rest durch:

$$\begin{array}{c|ccr} & (-x^3\phantom{+x^2}+4x-10) &\div&(x^2-x-6) &=&\red{-x}\green{-1}\\\hline-& (-x^3+x^2+6x\phantom{+00})&\leftarrow & (\red{-x})\cdot(x^2-x-6)\\=&(\phantom{-x^3}-x^2-2x-10)\\\hline-&(\phantom{-x^3}-x^2+\phantom0x+\phantom06) & \leftarrow & (\green{-1})\cdot(x^2-x-6)\\=&(\phantom{-x^3-x^2}\blue{-3x-16})\end{array}$$Daher können wir schreiben:$$f_b(x)=\red{-x}\green{-1}+\frac{\blue{-3x-16}}{x^2-x-6}=-x-1-\frac{3x+16}{(x-3)(x+2)}$$

(2) Der verbliebene Bruch liegt noch nicht in Form von Partialbrüchen vor, die besonders leicht zu integrieren sind. Daher führen wir eine Partialbruchzerlegung durch:$$\frac{3x+16}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}$$Die Konstante $A$ finden wir durch Multiplikation der Gleichung mit $\red{(x+2)}$ und anschließendem Einsetzen von $(x=-2)$:$$\frac{3x+16}{(x+2)(x-3)}\cdot\red{(x+2)}=\frac{A}{x+2}\cdot\red{(x+2)}+\frac{B}{x-3}\cdot\red{(x+2)}\implies$$$$\frac{3x+16}{(x-3)}=A+\frac{B}{x-3}\cdot(x+2)\stackrel{(x=-2)}{\implies}A=\frac{-6+16}{-2-3}=-2$$Die letzte Konstante $B$ erhalten wir einfach durch Einsetzen von $(x=0)$:$$\frac{3\cdot0+16}{(0+2)(0-3)}=\frac{(A=-2)}{0+2}+\frac{B}{0-3}\implies-\frac{8}{3}=-1-\frac{B}{3}\implies B=5$$

Damit haben wir den Integranden schließlich wie folgt vorliegen:$$f_b(x)=-x-1-\left(\frac{-2}{x+2}+\frac{5}{x-3}\right)=-x-1+\frac{2}{x+2}-\frac{5}{x-3}$$und können das Integral bzw. die Stammfunktionen angeben:$$F_b(x)=\int f_b(x)\,dx\pink{=-\frac{x^2}{2}-x+2\ln|x+2|-5\ln|x-3|+\text{const}}$$

Integral von (c)

Das Integral zum Abschluss$$f_c(x)=\frac{1-\sin x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}-\frac{\sin x}{\cos^2x}$$ist besonders leicht, weil man die Ableitungen sofort erkennt:$$\left(\tan x\right)'=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{1}{\cos^2x}$$$$\left(\frac{\overbrace{1}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{0}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{1}^{=u}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\sin x}{\cos^2x}$$Damit ist klar:$$F_c(x)=\int f_c(x)\,dx\pink{=\tan x-\frac{1}{\cos x}+\text{const}}$$