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Bei allen 3 Aufgaben geht es darum, zuerst den Integranden in leicht integrierbare Summanden zu zerlegen und anschließend erst zu integrieren.
Integral von (a)
$$f_a(x)=\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac12\cdot\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac12\cdot\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$$$\phantom{f_a(x)}=\frac12\left(\frac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)}{(x-1)(x+1)}\right)=\frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$$
Damit lautet das Integral:$$I_a=\int\limits_2^3f_a(x)\,dx=\frac12\left[\left(\ln|x-1|-\ln|x+1|\right)\right]_2^3=\frac12\left((\ln2-\ln4)-(\ln1-\ln3)\right)$$$$\phantom{I_a}=\frac12\left(\ln3+\ln2-\underbrace{2\ln2}_{=\ln4}\right)\pink{=\frac{\ln3-\ln2}{2}}$$
Integral von (b)
Der Patient hier hat direkt 2 Beschwerden, die das Integrieren erschweren:$$f_b(x)=\frac{-x^3+4x-10}{x^2-x-6}$$
(1) Zum Integrieren haben wir gern den Grad des Zählerpolynoms kleiner als den Grad des Nennerpolynoms. Daher führen wir eine Polynomdivision mit Rest durch:
$$\begin{array}{c|ccr} & (-x^3\phantom{+x^2}+4x-10) &\div&(x^2-x-6) &=&\red{-x}\green{-1}\\\hline-& (-x^3+x^2+6x\phantom{+00})&\leftarrow & (\red{-x})\cdot(x^2-x-6)\\=&(\phantom{-x^3}-x^2-2x-10)\\\hline-&(\phantom{-x^3}-x^2+\phantom0x+\phantom06) & \leftarrow & (\green{-1})\cdot(x^2-x-6)\\=&(\phantom{-x^3-x^2}\blue{-3x-16})\end{array}$$Daher können wir schreiben:$$f_b(x)=\red{-x}\green{-1}+\frac{\blue{-3x-16}}{x^2-x-6}=-x-1-\frac{3x+16}{(x-3)(x+2)}$$
(2) Der verbliebene Bruch liegt noch nicht in Form von Partialbrüchen vor, die besonders leicht zu integrieren sind. Daher führen wir eine Partialbruchzerlegung durch:$$\frac{3x+16}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-3}$$Die Konstante \(A\) finden wir durch Multiplikation der Gleichung mit \(\red{(x+2)}\) und anschließendem Einsetzen von \((x=-2)\):$$\frac{3x+16}{(x+2)(x-3)}\cdot\red{(x+2)}=\frac{A}{x+2}\cdot\red{(x+2)}+\frac{B}{x-3}\cdot\red{(x+2)}\implies$$$$\frac{3x+16}{(x-3)}=A+\frac{B}{x-3}\cdot(x+2)\stackrel{(x=-2)}{\implies}A=\frac{-6+16}{-2-3}=-2$$Die letzte Konstante \(B\) erhalten wir einfach durch Einsetzen von \((x=0)\):$$\frac{3\cdot0+16}{(0+2)(0-3)}=\frac{(A=-2)}{0+2}+\frac{B}{0-3}\implies-\frac{8}{3}=-1-\frac{B}{3}\implies B=5$$
Damit haben wir den Integranden schließlich wie folgt vorliegen:$$f_b(x)=-x-1-\left(\frac{-2}{x+2}+\frac{5}{x-3}\right)=-x-1+\frac{2}{x+2}-\frac{5}{x-3}$$und können das Integral bzw. die Stammfunktionen angeben:$$F_b(x)=\int f_b(x)\,dx\pink{=-\frac{x^2}{2}-x+2\ln|x+2|-5\ln|x-3|+\text{const}}$$
Integral von (c)
Das Integral zum Abschluss$$f_c(x)=\frac{1-\sin x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}-\frac{\sin x}{\cos^2x}$$ist besonders leicht, weil man die Ableitungen sofort erkennt:$$\left(\tan x\right)'=\left(\frac{\overbrace{\sin x}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{\cos x}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{\sin x}^{=u}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{1}{\cos^2x}$$$$\left(\frac{\overbrace{1}^{=u}}{\underbrace{\cos x}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{0}^{=u'}\cdot\overbrace{\cos x}^{=v}-\overbrace{1}^{=u}\cdot\overbrace{(-\sin x)}^{=v'}}{\underbrace{\cos^2x}_{=v^2}}=\frac{\sin x}{\cos^2x}$$Damit ist klar:$$F_c(x)=\int f_c(x)\,dx\pink{=\tan x-\frac{1}{\cos x}+\text{const}}$$
