Integration durch Integralsubstitution zur erzeugung rationaler Integranden

Question

Folgende Aufgabe verstehe ich einfach nicht:

$$\int_{}^{}\frac{1}{1+3cos^2(x)}$$

Wir haben einen Zettel mit der Überschrift Integralsubstitution erhalten.

Dementsprechend stellt der Prof solche Aufgaben bewusst, damit wir mit diesem Hilfszettel lösen.

Er verrät folgenden Hinweis:

INTEGRALTYP

$$\int_{}^{}R(sin^2(x),cos^2(x))dx$$

SUBSTITUTION

$$tan(x)=z$$

$$dx=\frac{1}{1+z^2}dz$$

$$sin^2(x)=\frac{z^2}{1+z^2} $$

$$cos^2(x)=\frac{1}{1+z^2}$$

Leider verwirrt mich der Zettel eher als dass er mir hilft...

Kann mir jemand aus meinem Loch helfen?

!!

Answer 1

Hallo,

Du setzt für cos^2(x) und dx die Ausdrücke ein

und bekommst

=∫ 1/(z^2+4)  dz , klammerst dann im Nenner 4 aus und substituierst v= z/2

Ergebnis:

=-1/2 arctan(2 cot(x)) +C

Comments

Danke für deine Antwort!

Wenn ich jedoch genau die Ausdrücke einsetze erhalte ich doch:

$$\frac{1}{1+3(\frac{1}{1+z^2})}*\frac{1}{1+z^2} dz$$

Das wiederum ausmultipliziert und gekürzt:

$$\frac{1+z^2}{4({1+z^2})} dz=\frac{1}{4}\frac{1+z^2}{{1+z^2}} dz$$

Hab ich hier einen Denkfehler?

Wie kommst du auf:

$$\frac{1}{{4+z^2}} dz$$

---

Habs rausgefunden durch deine Antwort!

Danke nochmal.

Es wird natürlich zu:

$$\frac{1}{3\frac{1+z^2}{1+z^2}+1+z^2} dz=\frac{1}{{4+z^2}} dz$$

ärgerlich.....