Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Hubschraubers Ha mit dem Parameter Zeit t in Minuten auf.

Question

Aufgabe:

Auf einem Militärflugplatz in der Nähe des Äquators startet um 12.00 Uhr mittags ein Hubschrauber Ha vom Punkt H0(-10/5/0)(eine Längeneinheit entspricht 1km). Er bewegt sich gradlinig und ist 3 Minuten später am Punkt H3(-19/20/3). Ein zweiter Hubschrauber Hb bewegt sich von einem Privatflugplatz ebenfalls gradlinig mit der Zeit t, gemessen ab 12.00 Uhr mittags, auf der Geradengleichung x= (5,6,2)+t*(4,-5,1).( stellt euch die Vektoren untereinander vor). Beide Flugzeuge liegen in der x1-x2 Ebene. Am Punkt (-8/10/0) befindet sich ein Krankenhaus, an dem die Hubschrauber wegen Lärmschutzes mit mindestens 5km Entfernung vorbeifliegen sollen.

a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Hubschraubers Ha mit dem Parameter Zeit t in Minuten auf.

b) Berechnen Sie den Startpunkt des Hubschraubers Hb.

c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der beiden Hubschrauber in km pro Minute.

d) Berechnen Sie den Zeitpunkt nach dem Start an dem der Hubschrauber Hb doppelt so weit von dem Krankenhaus entfernt ist wie Hubschrauber Ha.

e) In dem ebenen Gelände des Flugplatzes überprüft wegen des Ausfalls der Radaranlage eine Kommission anhand des Schattenbildes von Ha dass der Hubschrauber die vorgeschriebene Fluglinie einhält. Um 12.00 Uhr mittags verlaufen die Sonnenstrahlen senkrecht nach unten. Berechnen sie den Verlauf des Schattenbildes von Ha.

Nach insgesamt 3,5 Minuten Flugzeit haben beide Hubschrauber ihre Reisehöhe erreicht. Von da an behalten sie die \( \mathrm{x}_{1} \) - und \( \mathrm{x}_{2} \)-Richtung bei und halten ihre Reisehöhe konstant.

f) Überprüfen Sie, ob die beiden Hubschrauber den notwendigen Abstand zu dem Krankenhaus halten.

Nach etwa zweieinhalb Stunden fliegt Hubschrauber \( \mathrm{H}_{\mathrm{b}} \) über eine schräge Hochebene, die die Eckpunkte \( \mathrm{A}(\square 800|900| 3), \mathrm{B}(\square 250|960| 3,2) \), \( \mathrm{C}(\square 650|1020| 3,4)) \) und \( \mathrm{D}(\square 400|840| 2,8) \) enthält. Hier fällt das Sonnenlicht nun etwas schräger gemäß \( \vec{u}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \) ein.

g) Zeigen Sie, dass die Eckpunkte der Ebene ein Parallelogramm beschreiben.

h) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene durch A, B und C in Normalenform.

Problem/Ansatz:

a) Bewegungsgleichung: x= (-10/5/0)+t*(-9/15/3).

Hab jetzt bei a) eine Geradengleichung mithilfe der beiden gegebenen Punkten aufgestellt.

b) Wäre nicht eventuell ein Startpunkt von Hb der Ortsvektor der Geradengleichung?

Answer 1

Hallo,

erstmal was für die Anschauung - immer sehr zu empfehlen.

Nur schreibe bitte eine einheitliche Notation - Kommatrennung bevorzugt.

Deine Bewegungsgleichung für Heli A ist schon mal richtig - gilt allerdings für Δt=3min -

sagen wir also besser h_a(t)= (-10/5/0)+t*(-9/15/3)/3

Sagen wir Heli h_b(t) schon mit Δt=1

Der Heli b startet vermutlich in der Ebene z=0 ===> t=-2 (da war er 11:58) ==> H1

Entfernung in 1 min √((h_a(1)-h_a(0))^2) und e_b=√((h_b(1)-h_b(0))^2) ===> v km/min

Sind übrigens aweng arg flott unterwegs die 2...

Entfernung vom KH

2√((h_a(t)-KH)^2) =√((h_b(t)-KH)^2)

Den Heli ha runterholen z=0 und im Lärmschutz-Kreis um KH

LK:=(x+8)^2+(y-10)^2=5^2

die Koordinaten des Heli x,y in LK einsetzen und ausrechnen was passiert

Das war es erstmal in Hinweisen zu den Aufgaben - wenn noch was klemmt rückfragen...

 

Comments

Gut - Du kannst gerne Zwischenergebnisse nachfragen...

z.B. v_a=5.92 , v_b=6.48

BTW: d)  die gestrichelten Linien im BIld zur doppelten Entfernung passen nicht, da ist mir der Faktor 1/3 beim Heli a abhanden gekommen - richtig wäre

Ha:=((-19.863), 21.439, 3.2878), KHHa=16.8 km

und für die Kollegen im Heli b wird die Luft langsam dünn

Hb:=(18.151, (-10.439), 5.288)

---

Bei a) ist es doch an sich egal nach wie vielen Minuten man die Gerade aufstellt, die Richtung bleibt doch die gleich oder?

---

Zum Einen heißt es in der Aufgabe

>Parameter Zeit t in Minuten auf.

und nicht in 3 minuten, zum Anderen musst Du den Heli mit dem anderen synchronisieren ...

---

Ok da haben sie Recht!! Aber in die gleiche Richtung fliegen sie :D

---

Bei Aufgabe d) muss ich da den Punkt vom KH von der Geraden von Ha oder Hb abziehen? Und dann halt wie die Wurzel ziehen?

---

Die Entfernung KH Hb ist der Betrag des Vektors (Hb-KH), also die Wurzel aus dem Quadrat - so wie es oben steht..

---

(5,6,2)*t(4,-5,1)-(-8,10,0)

Jetzt würde ich KH von dem Ortsvektor von Hb abziehen

(13,-4,2)*t(4,-5,1)

Ist das soweit richtig?

Danach weiß ich nicht weiter...

Ich brauch ja eine Angabe für t, um die Wurzel zu ziehen

Oder ist t = 0, weil wir ja eh nur den Abstand von dem Hubschrauber zum KH suchen.

---

Das ist soweit richtig - Du musst t berechnen, so dass die Entfernungen der Aufgabenstellung entsprechen.

Die Gleichung (das t ist für beide Helis das gleiche, weil sychron)

4*((h_a(t)-KH)^2)=((h_b(t)-KH)^2)

die Wurzel (auf beiden Seiten) fällt durch Quadrieren weg - Du kommst dann auf

\(\small 140 \; t^{2} - 152 \; t + 116 = 42 \; t^{2} + 148 \; t + 189\)

oder

\(\small 98 \; t^{2} - 300 \; t - 73=0\)

t [min] ist dann die Flugzeit damit die Entfernung (von KH ) des einen doppelt so groß ist wie die des anderen...

---

Habe alles soweit verstanden, wo es bei mir noch hakt, ist der Schritt von der Gleichung   4*((h_a(t)-KH)2)=((h_b(t)-KH)2) zu der aufgelösten Gleichung

140t^2 -152t+116=42t^2 +148t +189.

Mein Ergebnis für t sind 3,287 Minuten.

Also ist der Hubschrauber Hb nach 3,287 Minuten doppelt so weit entfernt vom KH wie der Hubschrauber Ha.

Danke für die Hilfe!

---

Und leider bin ich bei Aufgabenteil e) komplett ratlos, da helfen mir leider auch nicht ihr Hinweise...

Haben sie da nochmal einen Tipp?

---

Für die Umsetzung wäre übrigens GeoGebra eine wertvolle Hilfe.

Bis Du jetzt mit d) klargekommen?

Für e) brauchst Du den 5km Kreis um das KH. Weißt Du wie Kreise beschrieben werden? Der Lärmschutzkreis, z.B.

LK:=(x+8)^2+(y-10)^2=5^2

Für die (Schatten)Spur des Heli nehmen wir die z-Koordinate weg, weil am Äquator die Sonne senkrecht runter knallt

ha_s(t) = (x,y)=(-10,5)+t*(-9,15)/3

Für die Schnittpunkte Schatten Heli A x Schallschutzkreis

Du setzt (x,y) von ha_s in LK ein ==> t für Schnittpunkte ==> und weil es Schnittpunkt gibt fliegt der Heli zu nah an KH ran - OK?

---

Perfekt Komme jetzt auf die Schnittpunkte x=1 und x2= 0,118.

Danke Wächter :D

---

Ich hab als Geschwindigkeit des 1. Flugzeuges 7 km/min stimmt das?

---

7 km/min=420 km/h

Nein, das stimmt nicht.

Die Ergebnisse stehen weiter oben.

Für Helis fliegen sie entsprechend den Aufgabendaten immer noch zu schnell und zu hoch...

auch https://www.mathelounge.de/703014/analytische-geometrie-abitur-flugzeugaufgabe?show=751102#c751102

---

Die Geschwindigkeit habe ich jetzt raus, aber wie kommst du in d von deiner Formel zu :4*((h_a(t)-KH)2)=((h_b(t)-KH)2) zu 140t2 -152t+116=42t2 +148t +189? Wie kriegst du die Werte? Ich checke es nicht

---

ha(t)= (-10,5,0)+t*(-3,5,1)

KH=(-8,10,0)

ha(t)-KH=((-3*t)-2,5*t-5,t)

(ha(t)-KH)^2=(-3*t-2)^2+(5*t-5)^2+t^2=35*t^2-38*t+29

Den Rest kannst Du jetzt?

---

Super, danke:-). In der Zwischenzeit kam ich selbst dahinter (juhuu), trotzdem: danke für die Erklärung!!!

---

,

ich bin gerade über die Hilfestellung "quadrieren" gestolpert und verstehe es ehrlich gesagt nicht.

Wenn ich 2\( \sqrt{35t²-38t+29} \)=\( \sqrt{42t²+148t+189} \) habe, wieso wird dann nur der Betrag KHHa(t) vervierfacht, und der von KHHa(t) bleibt gleich?

Ich möchte die Aufgabe wirklich zu 100% verstehen - den Rest habe ich alles kapiert aber an der Stelle um das t zu bekommen, stecke ich fest.

Und dann bleibt mir die pq Formel mit "zwei" Möglichkeiten, wobei die Negative ja wegfallen würde

Grüße

---

Hm, vielleicht weil es

[2√(..)]² = 4(..)

nach dem Quadrieren heißt?

---

Naja, das hat meine eigentliche Frage, nach dem WARUM nicht beantwortet. Irgendwo in den Kommentaren steht ja, dass durch quadrieren beide Wurzeln aufgehoben werden.

Wenn ich 2\( \sqrt{35t²-38t+29} \)=\( \sqrt{42t²+148t+189} \) habe, wieso wird dann nur der Betrag KHHa(t) vervierfacht, und der von KHHa(t) bleibt gleich?

Vielleicht stehe ich nur einfach total auf dem Schlauch...ich muss mit der andren Wurzel ja auch etwas machen!?

---

Weil die 2 nur vor der Wurzel auf der linken Seite steht, quadriert wird und dann daraus 4 wird.

---

hatte ich hier schon mal in arbeit

https://www.mathelounge.de/691074/textaufgabe-vektoren

hilft das weiter?

da stimmt der zeichensatz nicht, die kästchen stehen vermutlich für ein minus.

parallelogram :gegenüber liegende seiten sind parallel.

vektorprodukt und flächeninhalt

---

h) vektorprodukt ⊗

n:=(C-A)⊗(D-A), normalenvektor

\(\small n \, :=  \, \left( \begin{array}{rrr}0 \\ 190 \\ -57000 \end{array} \right)\)

E:=n(x-A)=0

E: 190 * y - 57000 * z = 0

überprüfen ob B reinpasst, damit kann n zur flächenberechnung verwendet werden - oder gleich n(x-B)=0

i) fläche betrag n (oder Gausssche Trapezformel)

|n|=~57000.32

siehe https://www.mathematik-oberstufe.de/vektoren/sv/kreuzprodukt.html

achte auf die Lage der vektoren.

Standardmäßig definieren 3 Punkte eine Ebene A,B,C

===> Normalengleichung (B-A)⊗(C-A)(x-A)=0

Du hast 4 Punkte: wenn man sicher gehen will nimmt man 3 Punkte macht eine Ebene draus und überprüft ob der 4. Punkt in der Ebene liegt

==> er muß die Normalengleichung erfüllen

Wenn wir die Ebene mit ACD aufstellen, dann haben wir einen Normalenvekor um auch die Fläche zu berechnen (siehe Link) müssen aber überpfrüfen ob auch B in der Ebene liegt.

n ((x,y,z)-A)=0 ===> n (B-A) ?= 0

---

Also ist jetzt der Flächen Betrag |n|=~57000.32
 ?

---

ja, das kann man gelten lassen!

---

Vielen vielen dank für die Antwort ich hätte noch 2 Aufgaben wo ich nicht weiterkomme die Aufgabe geht bis k ..

nämlich die Aufgabe j ist:

j)Berechnen Sie die Matrix A, die den Schatten des Hubschraubers in die Ebene ABCD abbildet.

Und die andere Aufgabe :
k)Berechnen Sie den Verlauf des Schattens des Hubschraubers Hb.

Der Flächeninhalt ist ja gelöst aber die anderen 2 Aufgaben .. ich weiß nicht wie ich das machen soll

---

Schön ist das nicht, aber immerhin selten;-)

Nun, die Projektion erfolgt senkrecht e₃=(0,0,1)^T auf die Ebene E - wir bewegen einen Punkt X der Kursgeraden im Horizontalflug

hb_h(t)=h_b(3.5) + t (4,5,0)^T

\(\small X ∈ hb_h(t):=\left( \begin{array}{lll}19+4 \; t \\ \frac{-23}{2} - 5 \; t \\ \frac{11}{2} \end{array} \right)\)

in Richtung e₃

p:=X+t (e₃), X=(x,y,z)

bis wir die Ebene E treffen

E:=n (X)-d=0 ,X=p ===>

p×E: n ((x,y,z)+t ( e₃) )-0=0 ===>

\(t \, :=  \, \frac{1}{300} \; y - z\)

eingesetzt t∈p ===> p_e3

\(p_{e3}:=\small \left(\begin{array}{r}x\\y\\z\\\end{array}\right) + t (e_3) \) ===>

\(p_{e3} \, :=  \, \left(x, y, \frac{1}{300} \; y \right)\)

das als Matrix

\(P_{e3} \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{1}{300}&0\\\end{array}\right)\)

und damit die Gerade abbilden

hb_{schatten}(t):=P_e3 hb_h(t) ===>

\(\small hb_{schatten}(t) \, :=  \, \left(4 \; t + 19, \frac{-23}{2} - 5 \; t, \frac{-23}{600} - \frac{1}{60} \; t \right)\)

---

Du hast mir echt weitergeholfen Danke,Danke Danke

---

Das ist noch nicht sicher.

mir ist aufgefallen:

Da hat jemand einen Aufgabenteil einkopiert, wo ein Projektionsvektor u vorgegeben ist - auf welchen Aufgabenteil beziehst Du dich auf den wo die Sonne senkrecht runter brettert oder auf den mit der Richtung u=(1,1,-2)?

Wenn die u-Richtung zum Tragen kommt, mach bitte eine neue Frage mit den relevanten Angaben draus - das wird hier zu unübersichtlich....

----

Nachtrag: Hab den Rechenweg so geändert, das es je nach Vektor e₃ oder u (dann einsetzen) für beide passend ist!

Answer 2

Ergebnis G:ha = (-10/5/0) + t* (-9/15/3). Habe ich das richtig gemacht?

Zeichenfehler (x|y|z)=(-10/5/0) + t* (-9/15/-3). Außerdem wird bei dir als Zeiteinheit 3 min gewählt. Richtig wäre (x|y|z)=(-10/5/0) + t* (-3/5/-1).

Comments

Stimmt, ich habe bei a) nur den Verbindungsvektor als Richtungsvektor benutzt, der ja schon bei t=3 lag, dabei sollte man ja bei t=0 Anfangen.

Haben Sie Ideen für die anderen Aufgabenstellungen?

---

Auch dein Startpunkt des zweiten Hubschraubers ist falsch. Startpunkt ist der Schnittpunkt der Geraden (x|y|z)= (5/6/2) + t*(4/-5/1) mit der x₁x₂-Ebene. Das ist (-3|16|0).