Integration einer Funktion f(x) = x / (a^2 + x^2 )

Question

wie kann ich diese Funktion integrieren?

f(x) = x / (a² + x² )

Danke für die Hilfe :)

Answer 1

$$ \int {x \over a^2+x^2} = {1\over2} \int {2x \over a^2+x^2} = {1\over2} \ln|a^2+x^2| $$

(Zähler ist Ableitung des Nenners, das ist eine Regel, die Du zu können hast.)

Grüße,

M.B.

Comments

Rechts fehlt die Integrationskonstante.

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Du findest kein Tabellenwerk, in dem diese angegeben ist.

(Das hatten wir bereits.)

Grüße,

M.B.

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https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Unbestimmte_Integrale_rationaler_Funktionen

Und in Tabellenwerken findet sich der Hinweis, dass die Integrationskonstante aus drucktechnischen Gründen weggelassen wurde.

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Du findest kein Tabellenwerk, in dem diese angegeben ist.

Das stimmt nicht. Siehe dazu auf Seite 39 die Tabelle "Grundintegrale und weitere spezielle Integrale" der unten angeführten Ausgabe des Tafelwerks. Zu jedem der insgesamt 17 aufgeführten Integrale ist jeweils eine Integrationskonstante \(+c\) notiert.

Das große Tafelwerk
Sekundarstufe I und II
Neubearbeitung
1. Auflage
Volk und Wissen Verlag, Berlin1999
ISBN 3-06-020760-7

In den späteren Ausgaben von Cornelsen wird das, auf der entsprechenden Seite, vermutlich immer noch so sein – oder weiß jemand Genaueres?

Gravierender finde ich allerdings das Weglassen des Differentials...

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letzteres war unbeabsichtigt, aber um Euch glücklich zu machen:

$$ \int {x \over a^2+x^2} \,{\rm d}x = {1\over2} \int {2x \over a^2+x^2} \,{\rm d}x = {1\over2} \ln \left| a^2+x^2 \right| + C $$

Genau genommen könnte man den Betrag auch noch weglassen, da \( a^2+x^2 \geq 0 \), und nur \( = 0 \) für \(a,x = 0 \), was aber eine Definitionslücke ist.

Grüße,

M.B.

Answer 2

Answer 3

∫ x/(x^2 + a^2) dx

Subst.
z = x^2 + a^2
1 dz = 2x dx
dx = 1/(2x) dz

∫ x / z 1/(2x) dz

∫ 1 / (2z)  dz

1/2·LN(z) + C

Resubst

1/2·LN(x^2 + a^2) + C

Answer 4

Hey

Put x² + a² = t

So, dt = 2x dx

 ie. dt/2 = x dx 

Now subsititute in equation and solve.

You will have to use the 1/t = log t integration formula.