Integrieren einer Funktion mit Wurzelterm im Nenner: ft(x)= (t*x) / √(1+t*x^2)

Question

Hey :)

Könnte mir jemand bei der Integrierung von dieser Funktionsschar helfen? Ich kriege es einfach nicht hin mit einer Wurzel im Nenner.

f_t(x)= (t×x) / √(1+t×x²)

Schonmal

Answer 1

∫ f_t(x) dx

Substituiere z = 1 + t*x² -> dz/dx = 2*t*x -> dx = dz/(2*t*x)

-> ∫ f_t(x) dx = ∫ (t*x)/(√z) * dz/(2*t*x) = ∫ 1/(2*√z) * dz = (1/2) ∫ (z)^(-1/2) * dz =  (1/2)*[(z)^(-1/2)+1/(-1/2) + 1)] + C

-> (1/2)*[(z)^(1/2)/(1/2)] + C = (z)^(1/2) + C

Rücksubstitution -> ∫ f_t(x) dx = (1 + t*x²)^(1/2) + C = √(1 + t*x²) + C

Answer 2

f_t(x)= (t×x) / √(1+t×x²)
einmal umschreiben
f ( x ) = ( t * x ) * ( t * x^2 + 1 )^{-1/2}
einmal probieren
was ergibt
[ ( t * x^2 + 1 )^{1/2} ] ´
[1/2 *  ( t * x^2  + 1 )^{1/2-1} * (2*x * t )
[ ( t * x^2  + 1 )^{-1/2} * (x * t )
( x * t ) / √ ( t * x^2  + 1 )

F ( x ) =  ( t * x^2 + 1 )^{1/2}

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mfg Georg