Integrieren durch Substitution ∫x*e^{-x^2} dx

Question

∫kann mir einer erklären wie ich zB integral von 0-unendlich über x*e^-x^2 dx mit der subsitutution integriere?

Comments

  ohne Substituion probiert es der Fachmann versuchsweise
mit der Ableitung von

  [ e^{x^2} ] ´ =  e^{x^2} * ( 2 * x  )  l wäre schon fast ok
  [ 1/2 * e^{x^2} ] ´ =  x * e^{x^2}

  Das Ergebnis des bestimmten Integrals zwischen 0 und endlich
müßte unendlich sein

  mfg Georg

Answer 1

Die Integrationsgrenzen lässt man zunächst außer Acht.

Mit der "Methode des scharfen Hinsehens" wählt man die Substitution:

x ² = u

=> x = √ u, d x = 1 / ( 2 * √ u )  du

und erhält:

$$\int { x } { e }^{ { -x }^{ 2 } }dx$$$$=\int { \sqrt { u }  } { e }^{ { -u } }\frac { 1 }{ 2\sqrt { u }  } du$$$$=\int { \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ { -u } } du }$$$$=-\frac { 1 }{ 2 } \int { -1{ e }^{ { -u } } du }$$Das lässt sich nun einfach integrieren:$$=-\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -u }$$Rücksubstitution:$$=-\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ x }^{ 2 } }$$

Für das bestimmte Integral erhält man:

$$\int _{ 0 }^{ \infty  }{ x{ e }^{ { -x }^{ 2 } }dx }$$$$=\lim _{ b\rightarrow \infty  }{ \int _{ 0 }^{ b }{ x{ e }^{ { -x }^{ 2 } }dx }  }$$$$=\lim _{ b\rightarrow \infty  }{ { \left[ -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ x }^{ 2 } } \right]  }_{ 0 }^{ b } }$$$$=\lim _{ b\rightarrow \infty  }{ \left( \left[ -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ b }^{ 2 } } \right] -\left[ -\frac { 1 }{ 2 } { e }^{ -{ 0 }^{ 2 } } \right]  \right)  }$$$$=0-\left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)$$$$=\frac { 1 }{ 2 }$$

Comments

Super danke :) ich habe eine frage ich verstehe nicht =−1/2∫−1e^-u du .
Wieso wird das so getrennt und das bekommt plötzlich alles einen minus?

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Ich habe einfach den Faktor  1/2 als (-1 )*(-1/2 ) geschrieben und dann den Faktor (- 1/2 ) vor das Integral gezogen. Das durfte ich, weil (-1/2) ja eine Konstante ist.

Gemacht habe ich das, um einen sehr einfach zu integrierenden Integranden zu erhalten (-e^-u ).

Hilft dir diese Erläuterung?

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Nicht ganz, also wenn ich den konstanten faktor von -1/2 wieder vorziehe dann müsste -1/2 *-1 doch wieder 1/2 ergeben, wie kommts dazu das die -1 wegfällund die -1/2 dahinkommt?

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Nun, die -1 fällt bei der Integration weg: 

∫ -1*e^-udu = e^-u

Und das wird nun eben noch mit dem Faktor - 1/2, der vor dem Integral stand, multipliziert, so dass sich also ergibt: ( -1 / 2 ) e ^-u