Stammfunktion von f(x) = 1/√(1-x^2) bestimmen per Substitution

Question

Hi,

ich würde gerne wissen, wie ich folgendes Integral berechne:
$$ \int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  }  } dx $$
Habe es mit der Substituion \(x=sin(y)\) versucht wie es auf anderen Seiten bereits zu sehen ist. Das Problem ist, dass wir nicht mit sowas arbeiten wie \(dx/du=2x\). Wir haben die Substituion wie auf Seite 14 dieser pdf-Datei (Grundlagen der Mathematik I) aufgeschrieben:
http://www.mathematik.uni-kl.de/fileadmin/compstoch/lectures/WS2014/GdM1/teil_12.pdf
Wenn ich also nun \(x=sin(y)\) substituieren und dann anwende, dass \(1-{ sin(y) }^{ 2 }={ cos(y) }^{2} \) ist, komme ich auf
$$ \int _{ cos(-1) }^{ \cos { (1) }  }{ \frac { 1 }{ cos(y) }  } dy $$
Dann würde ich \(cos(y)=z\) substituieren und hätte
$$ \int _{ \frac { 1 }{ cos(-1) }  }^{ \frac { 1 }{ \cos { (1) }  }  }{ \frac { 1 }{ z }  } dz=ln|z|{ | }_{ \frac { 1 }{ cos(-1) }  }^{ \frac { 1 }{ \cos { (1) }  }  }=0 $$
Irgendetwas mache ich falsch.

Was wir wissen ist, dass
$$ \int _{ -1 }^{ 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } }  } dx=\frac { 1 }{ 2 } \cdot arcsin(y){ | }_{ -1 }^{ 1 }=\frac { \pi  }{ 2 } $$
ist. Ich muss also zeigen, dass die beiden Integrale die selbe Fläche einschließen.

Comments

In dem Skript steht,doch indirekt auch ,dass du das mit dem dx/du machen musst oder nicht.

Du kannst das,was im Skript steht nur anwenden,wenn du die Ableitung im Zähler stehen hast .

Und du benutzt doch auch falsche Grenzen oder nicht? Müsste das beim ersten dann nicht sin(-1) und sin(1) sein?

EDIT: Und  bewiesen,dass dein Integrand die Ableitung vom arcsin(x) ist habt ihr wohl noch nicht oder?

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Hallo !

Mir gefällt deine Frage !

WolframAlpha sagt leider etwas anderes -->

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28%281%2Fsqrt%281-x^2%29%29+*+dx%29+with+x+from+-1+to+1

Die Integration über -1 bis +1 ergibt NICHT pi / 2 sondern pi und das Integral ist nicht (1 / 2) arcsin sondern arscin.

Nur für die Grenzen 0 bis 1 bzw. -1 bis 0 ist es pi / 2

LG Spielkamerad

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Bin mir aber nicht sicher, ob ich das dann auch so anwenden darf, da wir es nirgendwo so stehen haben.
Ich substituiere ja mit sin(y), dann müsste ich auch auch sin(1) und sin(-1) als Grenzen nehmen, allerdings stimmt es ja sowieso so nicht, da ich die Ableitung wie du sagtest ja nicht im Zähler stehen habe.

Habe zufällig eben gesehen, dass wir doch schon bewiesen haben, dass der Integrand die Ableitung von arcsin(x) ist.

Eigentlich gehts auch um die Aufgabe (ii):

Ich habe es so gemacht, wie es hier steht
https://www.mathelounge.de/201911/existenz-von-uneigentlichen-integralen-reihenkonvergenz#c202450
und bin dann auf
$$ 2\cdot \int _{ -1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ v }^{ 2 } }  }  } dv $$
gekommen. Deswegen wollte ich die Stammfunktion wissen. Nur kriegen ich raus, dass ich dann \( 2·π \) als Ergebnis hätte, obwohl ja eigentlich nur \(π\) rauskommen sollte.
Die 2 vor dem Integral scheint nicht zu stimmen, die muss weg.

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Ok, ich habe als ich \(2z=v\) substituiert habe, vergessen, dass die Ableitung dazu ja dann auch im Zähler stehen muss. Also müsste ich eine 2 im Zähler haben, weswegen ich mit 1/2 multiplizieren muss, sodass ich nur noch das Integral ohne den Faktor 2 dort stehen habe, sodass ich dann am Ende π erhalte.

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Ist es so richtig?

Answer 1

Ja. Die Lösung ist richtig. Ich lass noch mal die Stammfunktion von Wolframalpha machen