Aloha :)
$$F(x)=\int\left(10-\sqrt{5-x^2}\right)\,dx=10x-\int\sqrt{5-x^2}\,dx$$Wir können uns auf die Berechnung des "Wurzel-Integrals" beschränkren. Mit der Substituion$$x(u)=\sqrt5\cdot\sin u\quad;\quad\frac{dx}{du}=\sqrt5\cdot\cos u$$erhalten wir:
$$\int\sqrt{5-x^2}\,dx=\int\sqrt{5-x^2}\,\frac{dx}{du}\,du=\int\sqrt{5-(\sqrt5\cdot\sin u)^2}\cdot\sqrt5\cdot\cos u\,du$$$$\phantom{\int\sqrt{5-x^2}\,dx}=\int\sqrt{5-5\sin^2u}\cdot\sqrt5\cdot\cos u\,du=\int\sqrt{5\cos^2u}\cdot\sqrt5\cdot\cos u\,du$$$$\phantom{\int\sqrt{5-x^2}\,dx}=5\int\cos^2u\,du=5\int\frac{1+\cos(2u)}{2}\,du=\frac{5}{2}\left(u+\frac{1}{2}\sin(2u)\right)$$$$\phantom{\int\sqrt{5-x^2}\,dx}=\frac{5}{2}\left(u+\sin u\cos u\right)=\frac{5}{2}\left(u+\sin u\sqrt{1-\sin^2u}\right)$$Wir substituieren mit \(\sin u=\frac{x}{\sqrt5}\) zurück:$$\phantom{\int\sqrt{5-x^2}\,dx}=\frac{5}{2}\left(\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt5}\right)+\frac{x}{\sqrt5}\sqrt{1-\frac{x^2}{5}}\right)$$$$\phantom{\int\sqrt{5-x^2}\,dx}=\frac{1}{2}\left(5\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt5}\right)+x\sqrt{5-x^2}\right)$$und bauen am Ende alles zusammen:$$F(x)=10x-\frac{x}{2}\sqrt{5-x^2}-\frac{5}{2}\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt5}\right)+\text{const.}$$
