Wie könnte man für folgenden Bruch eine Stammfunktion bilden?

Question

Aufgabe:

Wie könnte man für folgenden Bruch eine Stammfunktion bilden?

\( \frac{1}{x^2(x^2-x-12)} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits versucht es per partiellen Integration zu lösen oder mit einer Substitution aber irgendwie komme ich auf kein Ergebnis. Wie könnte man da sonst noch vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde es mit einer Partialbruchzerlegung probieren:$$f(x)=\frac{1}{x^2(x^2-x-12)}=\frac{1}{x^2(x-4)(x+3)}=\frac{Ax+B}{x^2}+\frac{C}{x-4}+\frac{D}{x+3}$$Aus den Nullstellen des Nenners gewinnen wir schnell:$$B=\frac{1}{(-4)\cdot3}=-\frac{1}{12}\;;\;C=\frac{1}{4^2(4+3)}=\frac{1}{112}\;;\;D=\frac{1}{(-3)^2(-3-4)}=-\frac{1}{63}$$

Zur Bestimmung von \(A\) setzen wir für \(x\) einen Wert ein, der keine Nullstelle des Nenners ist, z.B. \(x=1\):$$-\frac{1}{12}=f(1)=\frac{A\cdot1}{1^2}+\frac{-1/12}{1^2}+\frac{1/112}{-3}+\frac{-1/63}{4}=A-\frac{1}{12}-\frac{1}{336}-\frac{1}{252}$$$$\Rightarrow\quad A=\frac{1}{252}+\frac{1}{336}=\frac{4}{1008}+\frac{3}{1008}=\frac{7}{1008}=\frac{1}{144}$$

Damit haben wir eine geeignete Zerlegung von \(f(x)\) gefunden:$$f(x)=\frac{1}{144}\,\frac{1}{x}-\frac{1}{12}\,\frac{1}{x^2}+\frac{1}{112}\,\frac{1}{(x-4)}-\frac{1}{63}\,\frac{1}{(x+3)}$$und können sofort alle Stammfunktionen angeben:$$F(x)=\frac{1}{12x}+\frac{\ln|x|}{144}+\frac{\ln|x-4|}{112}-\frac{\ln|x+3|}{63}+\text{const.}$$

Comments

Aber wie kommt man auf den Term \( \frac{Ax+B}{x^2} \) ?

Also insbesondere den Zähler Ax+B.

Und in der zweiten Zeile verstehe ich leider nicht wie du die einzelnen Variablen berechnest.

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Bei der Partialbruchzerlegung muss der Grad des Zähler-Polynoms um eins kleiner sein als der Grad des Nenner-Polynoms, sonst geht sie nicht auf.

Bei \(\frac{Ax+B}{x^2}\) ist der Grad des Nenner-Polynoms \(2\), also muss der Grad des Zähler-Polynoms \(1\) sein. Das allgemeinste Polynom 1-ter Ordnung ist \(Ax+B\). Deswegen haben wir das in den Zähler geschrieben.

In der zweiten Zeile berechne ich die Koeffizienten der Zähler in Schnellform. Leider kennen viele Lehrer / Professoren diese Methode nicht und können sie daher auch nicht an ihre Schüler weitergeben. Um z.B. \(C\) zu bestimmen, wählst du die Stelle aus, wo der Nenner zu Null wird. Wegen \(\frac{C}{x-4}\) ist das bei \(x=4\) der Fall. Jetzt lässt du im Nenner des Funktionsterms den Faktor \((x-4)\) einfach weg und setzt in den ganzen Rest \(x=4\) ein:$$C=\left.\frac{1}{x^2\not(\not x\not-\not4\not)(x+3)}\right|_{x=4}=\frac{1}{4^2\cdot(4+3)}=\frac{1}{16\cdot7}=\frac{1}{112}$$

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Danke, jetzt hab ichs verstanden! :)

Also im Skript hab ich das so auch nicht gesehen, aber coole Methode auf jedenfall.

Answer 2

Hallo,

Lösung über Partialbruchzerlegung:

x^2 -x -12 =0

x_1.2= 1/2 ± √((1/4) +12)

x_1.2= 1/2 ± 7/2

x₁= 4

x₂= -3

Ansatz;

1/(x^2(x^2-x-12)) =1/((x^2) (x-4)(x+3))

=A/x^2 +B/x +C/(x-4) +D/(x+3)

-Multiplizieren mit dem Hauptnenner

Einsetzmethode

usw.

Comments

Aber warum muss man denn B/x addieren?

Also die anderen Terme verstehe ich, aber das mit dem B/x nicht.