Wie lautet die (gerundete) x-Koordinate des geometrischen Schwerpunkts dieses Kreisbogens? (Kurvenintegral)

Question

Aufgabe:

1: Wie lautet die (gerundete) x-Koordinate des geometrischen Schwerpunkts dieses Kreisbogens?

$$\gamma : [ 0 , \frac { \pi } { 2 } ] \rightarrow R ^ { 2 } , t \mapsto \left( \begin{array} { c } { \operatorname { cos } t } \\ { \operatorname { sin } t } \end{array} \right)$$

Lösung: ich habe hier 0.6366

2: Berechne dieses Kurveninteg längs des Kreisbogens aus Frage 1:

∫_γxdx+ydy

Lösung: ich habe hier Null heraus.

3: Wie lautet die Stammfunktion des Vektorfelds des Kurvenintegrals aus Frage 2?

Answer 1

Aloha :)

Bei (a) kommt $\frac{2}{\pi}\approx0,6366$ raus.$\quad\checkmark$

Bei (b) kommt $0$ raus.$\quad\checkmark$

Bei (c) ist eine Stammfunktion $F(x,y)\to\mathbb{R}$ gesucht, sodass $\binom{x}{y}=\text{grad}\,F(x,y)$ ist.

Wenn eine solche Stammfunktion existiert, dann ist der Wert des Integrals aus (b) unabhängig vom gewählten Weg. Zur Berechnung der Stammfunktion wählen wir den Weg $C:(0,0)\to(x,0)\to(x,y)$ entlang der Koordinatenachsen. Dann ist also:$$F(x,y)=\int\limits_C\binom{x'}{y'}\cdot\binom{dx'}{dy'}=\int\limits_{(0,0)}^{(x,0)}(x'\,dx'+y'\,dy')+\int\limits_{(x,0)}^{(x,y)}(x'\,dx'+y'\,dy')$$Der Strich soll hier nicht die Ableitung andeuten, sondern die Integrationsvariablen von den Integrationsgrenzen unterscheiden. Auf Grund des gewählten Wegs $C$ entlang der Koordinatenachsen, ändert sich beim ersten Integral $y'$ nicht (sodass $y'=0$ und $dy'=0$) und beim zweiten Integral ändert sich $x'$ nicht (sodass $x'=x$ und $dx'=0$). Daher gilt weiter:$$F(x,y)=\int\limits_{0}^{x}x'\,dx'+\int\limits_{0}^{y}y'\,dy=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$$Jetzt müssen wir noch prüfen, ob wirklich $\binom{x}{y}=\text{grad}\,F(x,y)$ ist, denn wir haben vorher nicht gezeigt, dass alle(!) Wege dieselbe Stammfunktion liefern, sondern uns nur einen geeigneten rausgepickt. Die Prüfung kann man aber im Kopf machen.