Aloha :)
Bei (a) kommt \(\frac{2}{\pi}\approx0,6366\) raus.\(\quad\checkmark\)
Bei (b) kommt \(0\) raus.\(\quad\checkmark\)
Bei (c) ist eine Stammfunktion \(F(x,y)\to\mathbb{R}\) gesucht, sodass \(\binom{x}{y}=\text{grad}\,F(x,y)\) ist.
Wenn eine solche Stammfunktion existiert, dann ist der Wert des Integrals aus (b) unabhängig vom gewählten Weg. Zur Berechnung der Stammfunktion wählen wir den Weg \(C:(0,0)\to(x,0)\to(x,y)\) entlang der Koordinatenachsen. Dann ist also:$$F(x,y)=\int\limits_C\binom{x'}{y'}\cdot\binom{dx'}{dy'}=\int\limits_{(0,0)}^{(x,0)}(x'\,dx'+y'\,dy')+\int\limits_{(x,0)}^{(x,y)}(x'\,dx'+y'\,dy')$$Der Strich soll hier nicht die Ableitung andeuten, sondern die Integrationsvariablen von den Integrationsgrenzen unterscheiden. Auf Grund des gewählten Wegs \(C\) entlang der Koordinatenachsen, ändert sich beim ersten Integral \(y'\) nicht (sodass \(y'=0\) und \(dy'=0\)) und beim zweiten Integral ändert sich \(x'\) nicht (sodass \(x'=x\) und \(dx'=0\)). Daher gilt weiter:$$F(x,y)=\int\limits_{0}^{x}x'\,dx'+\int\limits_{0}^{y}y'\,dy=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$$Jetzt müssen wir noch prüfen, ob wirklich \(\binom{x}{y}=\text{grad}\,F(x,y)\) ist, denn wir haben vorher nicht gezeigt, dass alle(!) Wege dieselbe Stammfunktion liefern, sondern uns nur einen geeigneten rausgepickt. Die Prüfung kann man aber im Kopf machen.
