Aufgabe:
Gegeben sei die Fläche
\( F:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{1}+x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq 4\right\} . \)
Die Orientierung sei so gewählt, dass der Flächennormalenvektor \( n\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) an \( F \) eine positive \( x_{3} \)-Komponente hat. Das Vektorfeld \( v: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sei definiert durch
\( v\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}, x_{3}\right) . \)
Berechnen Sie für die Randkurve \( \gamma \) von \( F \)
\( \int \limits_{\gamma} v \cdot \mathrm{d} x \)
a) direkt berechnen.
b) mit Hilfe des Satz von Stokes berechnen.
Problem/Ansatz:
Ich habe diese Aufgabe schon einmal gepostet, aber leider keine hilfreichen Antworten erhalten.
Ich weiß, wie man das Kurvenintegral berechnet, aber in diesem Fall bin ich etwas hilflos, weil dort kleiner gleich 4 steht.
Mein Ansatz zu a) ist:
Parametrisiere ich zunächst die Kurve: (2cos(t), 2sin(t), 2(cos(t)+sin(t))
Bilde ich dann die Ableitung und berechne ich anschließend das Wegintegral.
Zu b)
die Rotation von F mal der Normalenvektor (0,0,1) und die Intervalle sind (0,2pi) und (0,4)
Das sind meine Ideen, aber ich bin mir nicht sicher, ob sie richtig sind.
Es wäre toll, wenn jemand einen Vorschlag oder eine Lösung hätte, wie man a) und b) berechnen kann.
Danke im Voraus
