Wie berechne ich folgendes komplexes Kurvenintegral, ohne alles zu verkomplizieren?

Question

Aufgabe:

Ich soll folgendes Kurvenintegral berechnen:

$$\int \limits_{C}(z-1)cos(e^z)dz$$ mit $$C(t) = t^2 - 1 + isin(\pi t)$$ und  $$t\in [-1,1]$$

Problem/Ansatz:

Ich sitze seit Stunden an dieser Aufgabe, habe aber absolut keinen Ansatz, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.

Ich habe versucht das z durch x+iy auszudrücken bzw. auch über cosx + i sinx aber das wird unglaublich unübersichtlich und führt zu nichts.

Ich wäre für jede Art von Hilfe sehr dankbar. Im Idealfall eine Schritt für Schritt Lösung mit Kommentaren, sodass ich den Rechenweg und Gedankengang nachvollziehen bzw. verstehen kann.

Liebe Grüße

Comments

Hast du schon mal den Cauchy'schen Integralsatz versucht ?

Answer 1

Hallo,

es handelt sich um eine geschlossene Kurve und der Integrand
ist in ganz \(\mathbb{C} \) holomorph, also ....

Comments

Also könnte ich jeden beliebigen Weg nehmen? Hauptsache die Anfangs- und Endpunkte bleiben gleich. Könnte ich mir quasi so die Aufgabe vereinfachen?

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Ja, solange keine Singularität in dem Bereich liegt,
der von der Kurve umschlossen wird,
gilt der Integralsatz.

In unserem Fall hat der Integrand in der ganzen komplexen Ebene
keine Singularität :-)

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Wenn du den Satz von Cauchy verwendest, kommst du hoffentlich sofort

auf 0!