Komplexes Kurvenintegral von -i bis i.

Question

Kann mir jemand folgendes Beispiel lösen:

Sei p(z) ein ungerades Polynom, d.h es treten nur ungerade Potenzen von z auf. Berechnen sie _C p(z) dz

Wobei C eine Kurve ist die die beiden Punkte i und -i miteinander verbindet.

Comments

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Hmm bei mir war es noch ein Kurvenintegral in der Vorschau. Wie auch immer es soll ein Kurvenintegral über die Kurve C sein!

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D.h. du müsstest anhand der Symmetrie von p schon sagen können, was rauskommt? - unabhängig von p?

Könntest du da nicht einfach p(z) = 0 oder , damit es nicht ganz so trivial wird p(z) = z und dazu einen direkten Weg von zwischen diesen beiden Punkten wählen?

Danach kannst du das Resultat vielleicht einfach verallgemeinern.

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Hmm ich hab mehr an den Fundamentalsatz der Algebra gedacht der auch mit einem Komplexen integral bewiesen werden kann aber da komm ich dann nicht weiter.

p(z)=0 wäre doch kein ungerades Polynom oder?  Bzw. muss das doch für alle polynome gelten die ungerade sind.

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p(z)=1 wäre doch kein ungerades Polynom oder? Richtig. Ich habe nun p(z) = z ergänzt.

 Bzw. muss das doch für alle polynome gelten die ungerade sind.

Wie gesagt, würde ich einfach mal rechnen und dann eine Verallgemeinerung versuchen. 

Wenn du natürlich schon einen Satz kennst, der dir sagt, was rauskommen muss, kommst du vielleicht direkter zum Ziel. 

Erwartest du denn ein Resultat, das noch von p abhängig ist? 

Answer 1

Wieso schreibst Du hier \(\oint\), wenn doch gar nicht ueber einen geschlossenen Weg integriert wird? Ausserdem haengt das Integral nur von Anfangs- und Endpunkt ab, wenn man eine Stammfunktion angeben kann. $$\int_{-i}^i\left(a_1z+a_3z^3+\cdots+a_{2n+1}z^{2n+1}\right)\,dz=\left[\frac{a_1}{2}z^2+\frac{a_3}{4}z^4+\cdots+\frac{a_{2n+1}}{2n+2}z^{2n+2}\right]_{-i}^i$$

Comments

Danke an beide... Ist eigentlich nicht schwer wenn man mal den Ansatz hat und auch ziemlich einleuchtend!

Answer 2

berechne das Integral mit der komplexen Stammfunktion:

∫ p(z)dz=∫∑ c_n*z^{2n+1} dz=∑c_n∫z^{2n+1}dz=[∑c_n/(2n+2)*z^{2n+2}]_-iⁱ

=∑c_n/(2n+1)*[(i)^{2n+2}-(-i)^{2n+2}]=0, da (-1)^{2n+2}=1