Komplexes Wegintegral aus Fourier-Koeffizienten

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zu jeder stückweise stetigen Funktion \( f:[0,2 \pi] \rightarrow \mathrm{C} \) definieren wir die Fourier-Koeffizienten
\( \hat{f}_{k}:=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k t} \mathrm{~d} t, \quad k \in \mathbb{Z} . \)
(i) Angenommen, \( f \) sehe aus wie \( f(t)=g\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\right) \), mit einer holomorphen Funktion \( g: U \rightarrow \mathrm{C} \) auf einer offenen Menge \( U \), die die Kreislinie \( \{z \in \mathrm{C}|| z \mid=1\} \) enthält. Welchem komplexen Wegintegral entspricht dann \( \hat{f}_{k} \) ?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider gar nicht, was ich mit der Information f(t) = g(e^it) anfangen soll.

Also so wie ich es verstanden habe, soll ja am Ende ein Wegintegral γ mit γ = {z : |z| = 1} rauskommen. Aber mir fehlt leider der Ansatz, wie ich dort hin komme.

Comments

Mein Idee ist jetzt \( \int\limits_{γ}^{} \) z*\( \overline{z}\)^k dz mit γ = {z : |z| = 1} und k aus Z.

\( e^{-ikt} \) kann ich ja auch schreiben als (\( e^{-it} \))^k und das ist ja z komplex konjugiert hoch k. Oder stehe ich komplett auf dem Schlauch?

Answer 1

Wie wäre es mit

$$\frac{1}{2 \pi i}\oint_K \frac{g(z)}{z^{k+1}}\; dz$$

wobei K die Einheitskreislinie bezeichnet?

Mit der komplex konjugierten Potenz geht es auch, aber dann wäre der Integrand nicht (auf den ersten Blick) holomorph.