Teile das Integral auf: \(\int\limits_0^{2\pi}=\int\limits_0^\pi + \int\limits_\pi^{2\pi}\).
Das zweite Integral wird 0, da \(f\) auf \([\pi,2\pi]\) 0 ist.
Also bleibt: \(c_k=\frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi 1\cdot e^{-{\rm i}kt}\, dt\), was Du sicherlich selbst ausrechnen kannst.