Fourier Koeffizienten einer periodischen Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die 2π periodische Funktion f mit

\( f(t)=\left\{\begin{array}{lll} 1 & \text { für } t \in[0, \pi), \\ 0 & \text { für } t \in[\pi, 2 \pi) . \end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Berechnung des Fourier-Koeffizienten \( c_{k}(f)=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} k t} \mathrm{~d} t \) für \( k \in \mathbb{Z} \).

Answer 1

Teile das Integral auf: \(\int\limits_0^{2\pi}=\int\limits_0^\pi + \int\limits_\pi^{2\pi}\).

Das zweite Integral wird 0, da \(f\) auf \([\pi,2\pi]\) 0 ist.

Also bleibt: \(c_k=\frac1{2\pi}\int\limits_0^\pi 1\cdot e^{-{\rm i}kt}\, dt\), was Du sicherlich selbst ausrechnen kannst.