Ich studiere Mathematik im 2. Semester und halte bald einen Vortrag zur punktweisen Konvergenz der Fourierreihen und soll diese Aufgabe bis dahin lösen:
Aufgabe:
f ist stetig differenzierbar und f'' stückweise stetig differenzierbar. Dann gilt für die Fourier-Koeffizienten cn von f eine Abschätzung |cn| ≤ \( \frac{c}{n²} \) mit festem c. Weiter verallgemeinere man dieses Resultat auf Funktionen, deren k-te Ableitung stückweise stetig ist.
Hinweis: Wende zweimal (bzw. k-mal) Produktintegration an.
Problem/Ansatz:
Ich habe angefangen die allgemeine Formel für cn zu integrieren aber bin nicht wirklich zu einem aussagekräftigen Ergebnis bekommen. Ich muss gestehen, ich bin sehr unsicher, wie ich diese Aufgabe angehe. Ich habe überlegt, ob man es mit Induktion zeigen soll also I.A. wäre n = 1. Aber ich weiß auch nicht, wie ich dann zeigen soll, dass der Betrag ≤ \( \frac{c}{n²} \) ist. Muss ich die Integrale einfach ausrechnen und dann eine bestimmte Abschätzung anstellen?
Ich freue mich auf ein paar Anstöße :)
