Aloha :)
Du hast dieselbe Frage ein weiteres Mal gepostet, weil du beim ersten Posting "leider keine hilfreichen Antworten" bekommen hast. Ich antworte dir auf dieses, dein erstes Posting und lasse dein zweites Posting löschen, damit wir die Frage nicht doppelt im System haben.
Wie haben eine Punktemenge \(F\) und ein Vektorfeld \(\vec v\) gegeben:$$F=\{(x;y;x+y)\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2\le4\}\quad;\quad\vec v(\vec r)=\begin{pmatrix}\red x+\green y\\\green y\\\pink z\end{pmatrix}$$Zur Berechnung der gewünschten Integrale brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der alle Punkte der Fläche \(F\) abtastet. Dazu wählen wir Polarkoordinaten und vereinbaren$$\vec r=\begin{pmatrix}\red x\\\green y\\\pink z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{r\cos\varphi}\\\green{r\sin\varphi}\\\pink{r\cos\varphi+r\sin\varphi}\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]$$Diese Parametrisierung erfüllt die Bedingung für die Zugehörigkeit zu \(F\), denn:$$\red x^2+\green y^2=(\red{r\cos\varphi})^2+(\green{r\sin\varphi})^2=r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=r^2\le4\quad\checkmark$$
Wir sollen nun das Wegintegral entlang der Randkurve von \(F\) durch das Kraftfeld \(\vec v\) bestimmen. Physikalisch liefert das die Energie, die dabei aufzuwenden ist.
1) Direkte Berechnung
Den Rand erhalten wir, indem wir \(r=2\) festhalten. Der Vektor \(\vec r\) hängt dann nur noch vom Polarwinkel \(\varphi\) ab:$$E=\int\limits_{\partial F}\vec v(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\vec v(\vec r(\varphi))\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}\red{2\cos\varphi}+\green{2\sin\varphi}\\\green{2\sin\varphi}\\\pink{2\cos\varphi+2\sin\varphi}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\red{-2\sin\varphi}\\\green{2\cos\varphi}\\\pink{-2\sin\varphi+2\cos\varphi}\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}((-4\sin\varphi\cos\varphi-4\sin^2\varphi)+4\sin\varphi\cos\varphi+(4\cos^2\varphi-4\sin^2\varphi))d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(4\cos^2\varphi-8\sin^2\varphi)d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(4-12\sin^2\varphi)d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(4-12\left(\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\right)\right)d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(-2+6\cos(2\varphi)\right)\,d\varphi=-4\pi$$
2) Indirekte Berechnung
Wir verwenden den Satz von Stokes und berechnen das Flächenintegral von$$\operatorname{rot}\vec v(\vec r)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x+y\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$$über der Punktmenge \(F\). Dazu brauchen wir das Flächenelement in Polarkoordinaten:$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}dr\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}d\varphi\right)=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\cos\varphi+\sin\varphi\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\-r\sin\varphi+r\cos\varphi\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi$$
Da wir im Integranden die Rotation des Vektorfeldes mit dem Flächenelement multiplizieren und die ersten beiden Komponenten der Rotation verschwinden, brauchen wir nur die dritte Koordinate von \(d\vec f\) zu bestimmen:$$d\vec f=\begin{pmatrix}\text{egal}\\\text{egal}\\r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}\text{egal}\\\text{egal}\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$
Damit können wir das gesuchte Integral formulieren:$$E=\iint\limits_{F}\operatorname{rot}\vec v(\vec r)\,d\vec f=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\text{egal}\\\text{egal}\\r\end{pmatrix}\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}-r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom E=\int\limits_{r=0}^2(-r)\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[-\frac{r^2}{2}\right]_0^2\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}=(-2)\cdot2\pi=-4\pi$$
