Aloha :)
Du sollst den Wirbelfluss des Vektorfeldes \(\vec F\), also \(\operatorname{rot}\vec F\), durch die Oberflläche \(\oplus\) bestimmen. Dazu soll der Integralsatzes von Stokes \((\pink{d\vec f\times\vec\nabla=d\vec r})\) verwendet werden. Mit der zyklischen Vertauschbarkeit des Spatproduktes \((\ast)\) gilt:
$$\Phi=\int\limits_\oplus\left(\operatorname{rot}\vec F\right)d\vec f=\int\limits_\oplus\left(\vec\nabla\times\vec F\right)d\vec f\stackrel{(\ast)}{=}\int\limits_\oplus\left(\pink{d\vec f\times\vec\nabla}\right)\vec F=\oint\limits_C\pink{d\vec r}\,\vec F=\oint\limits_C\vec F\,d\vec r$$
Du brauchst also nur die Randkurce \(C\) in der \(xy\)-Ebene, also \((x^2+y^2=4)\), zu parametrisieren,$$C\colon\quad\vec r(\varphi)=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
diese Parametrisierng in \(\vec F\) einzusetzen:$$\vec F(\vec r(\varphi))=\begin{pmatrix}-(2\sin\varphi)^3\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\sin^3\varphi\\0\\0\end{pmatrix}$$
und das Kurvenintegral zu bestimmen:$$\Phi=\oint\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\vec F(\vec r(\varphi))\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_{0}^{2\pi}\begin{pmatrix}-8\sin^3\varphi\\0\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi=16\int\limits_0^{2\pi}\sin^4\varphi\,d\varphi$$
Die 4-te Potenz des Sinus schreiben wir etwas um,$$\sin^4\varphi=\left(\pink{\sin^2\varphi}\right)^2=\left(\pink{\frac12-\frac12\cos(2\varphi)}\right)^2=\frac14-\frac12\cos(2\varphi)+\frac14\green{\cos^2(2\varphi)}$$$$\phantom{\sin^4\varphi}=\frac14-\frac12\cos(2\varphi)+\frac14\left(\green{\frac12+\frac12\cos(4\varphi)}\right)=\frac38-\frac12\cos(2\varphi)+\frac18\cos(4\varphi)$$
wodurch das Integral sofort hinschreibbar wird:$$\Phi=16\int\limits_0^{2\pi}\left(\frac38-\frac12\cos(2\varphi)+\frac18\cos(4\varphi)\right)d\varphi=16\left[\frac38\varphi-\frac14\sin(2\varphi)+\frac{1}{32}\sin(4\varphi)\right]_0^{2\pi}$$$$\phantom{\Phi}=16\cdot\left(\frac{3}{8}\cdot2\pi-0+0\right)=12\pi$$
