Cauchyscher Integralsatz und -formel Rechnung

Question

Aufgabe:

Berechne das Integral \(\int_{}^{}\frac{1}{z(z+2)}dz\) dabei ist z komplex. Man soll es zweimal berechnen. Einmal über den einheitskreis und einmal über den kreis mit radius 3.

Problem/Ansatz:

für r=1 habe ich einfach die cauchysche integralformel angewandt und erhalte somit für \(f(z)=\frac{1}{z+2}\) das Ergebnis \(\pi i\) was auch richtig ist. Aber wenn ich das Wegintegral für den radius 3 mit einem Programm berechne, soll 0 rauskommen. Wieso kann ich bei diesem größeren Radius die Cauchysche Integralformel nicht mehr anwenden und warum erhält man 0 als Ergebnis?

Answer 1

\(g(z):=\frac{1}{z(z+2)}\) hat, wie man unschwer erkennen kann zwei Nullstellen:

\(z_1=0\) und \(z_2=-2\).

Nun überprüfen wir, ob diese beiden Punkte in unserer ersten Umgebung liegen:

\(\overline{D_1(z)} = |z-1|≤1 \Leftrightarrow |0-1|=1 \in D_1\), aber

\(\overline{D_1(z)} = |z-1|≤1 \Leftrightarrow |-2-1|=3 \notin D_1\)

\(\Rightarrow\) Mit \(f(z)=\frac{1}{(z+2)}\) gilt

\(f(0)=\frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial D_1}^{}\frac{f(z)}{z-0} dz \Leftrightarrow \int\limits_{\partial D_1}^{}\frac{1}{z(z+2)} dz = 2\pi i f(0) = \pi i\)

Da bei \(D_3\) beide Punkte in der Umgebung liegen, wie man leicht nachrechnet ergibt sich mittels des Residuums und er Umlaufzahlen \(n(\partial D_3, z_1) , n(\partial D_3, z_2)\)

\(\int\limits_{\partial D_1}^{}\frac{1}{z(z+2)} dz = -\pi i + \pi i =0\)

Comments

Gibt es noch eine andere Möglichkeit, das für r=3 zu berechnen? Weil den Residuenzsatz haben wir noch nicht gemacht, deswegen darf ich den nicht benutzen.