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Aufgabe:

Sei ∂F der Rand der Fläche


F = {(x,y,z}∈ℝ3| 9x2+9y2-4z = 0, z ≤ 4}

und

\( \vec{A} \)(\( \vec{r} \) )  = 3yêx - xzêy + yz2êz


ein Vektorfeld. Berechnen Sie das Kurvenintegral von \( \vec{A} \) entlang ∂F mit dem Satz von Stokes.



Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis -567πR2 rausbekommen, ist das richtig?

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Aloha :)

Dein Ergebnis kann nicht stimmen, weil darin der Radius \(R\) noch als Variable auftaucht. Tatsächlich ist die Fläche \(F\) und damit der Radius \(R\) eindeutig bestimmt.

Wir brauchen zuerst eine geeignete Parametrisierung der Fläche \(F\). Dazu wählen wir für \(x\) und \(y\) Polarkoordinaten. Die \(z\)-Komponente ist dann durch die Bedingungen für \(F\) vorgegeben:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\\frac{9}{4}(x^2+y^2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\\frac{9}{4}r^2\end{pmatrix}\quad;\quad r\in\left[0;\frac43\right]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Das gesuchte Integral ist damit:$$I=\int\limits_{\partial F}\vec A(\vec r)\,d\vec r=\oiint\limits_F\operatorname{rot}\vec A\,d\vec F=\int\limits_{r=0}^{4/3}\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\operatorname{rot}\vec A\cdot\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}\times\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}\right)\,dr\,d\varphi$$Wir berechnen die Komponenten:

$$\operatorname{rot}\vec A=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3y\\-xz\\yz^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z^2+x\\0\\-z-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{81}{16}r^4+r\cos\varphi\\0\\-\frac{9}{4}r^2-3\end{pmatrix}$$$$\frac{\partial\vec r}{\partial r}\times\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\frac{9}{2}r\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}r^2\cos\varphi\\[0.5ex]-\frac{9}{2}r^2\sin\varphi\\r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{9}{2}r^2\cos\varphi\\[0.5ex]-\frac{9}{2}r^2\sin\varphi\\r\end{pmatrix}$$

und setzen sie in das Integral ein:$$I=\int\limits_{r=0}^{4/3}\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(-\frac{9}{2}r^2\cos\varphi\left(\frac{81}{16}r^4+r\cos\varphi\right)-\frac94r^3-3r\right)\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=-\int\limits_{r=0}^{4/3}\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(\frac{729}{32}r^6\cos\varphi+\frac{9}{2}r^3\cos^2\varphi+\frac{9}{4}r^3+3r\right)\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=-\int\limits_{r=0}^{4/3}\left(\frac{9}{2}r^3\cdot\pi+\frac{9}{4}r^3\cdot2\pi+3r\cdot2\pi\right)\,dr=-\int\limits_0^{4/3}\left(9\pi r^3+6\pi r\right)\,dr$$$$\phantom{I}=-3\pi\int\limits_0^{4/3}\left(3r^3+2r\right)\,dr=-3\pi\left[\frac{3r^4}{4}+r^2\right]_0^{4/3}=-\frac{112}{9}\pi$$

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