Hallo,
wenn ich die recht verstanden habe, weißt Du nicht, wie Du ein Interagl
$$\int_B \ldots d(x,y)$$
berechnen kannst? Dazu musst (i.Allg.) Du den Bereich als Normalbereich darstellen (Vgl. mit Deinem Lehrmaterial). Hier gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Normalbereich bezüglich x:
Wenn \((x,y)\in B\) liegt, dann gilt auf jeden Fall \(-1 \leq x \leq 1\). Wenn wir jetzt ein festes \(x' \in [-1,1]\) betrachten, dann zeichnen wir (in Gedanken) eine Gerade durch x' parallel zu y-Achse. Aus den Schnittpunkten dieser Gerade mit dem Bereich B lesen wir ab: \((x',y) \in B\) genau dann, wenn \(|x| \leq y \leq 1\). Das ergibt folgende Beschreibung:
$$(x,y) \in B \iff -1 \leq x \leq 1 \text{ und }|x| \leq y\leq 1$$
Nun wissen wir aus Erfahrung, dass man mit Beträgen schlecht rechnen kann, daher "lösen wir den Betrag auf":
$$(x,y) \in B \iff [-1 \leq x \leq 0 \text{ und }-x \leq y\leq 1]\\\quad \text{ ODER } [0 <x \leq 1 \text{ und }x \leq y\leq 1$$
Das führt zu folgendem:
$$\int_B \ldots d(x,y)=\int_{-1}^0\left(\int_{-x}^1 (\ldots)\;dy\right)dx+\int_0^1\left(\int_{x}^1 (\ldots)\;dy\right)dx$$
2. Normalbereich bezüglich y:
Wenn die Variablen in umgekehrter Reihenfolge betrachtet, erhält man:
$$(x,y) \in B \iff 0 \leq y\leq 1 \text{ und } -y \leq x\leq y$$
Und dazu:
$$\int_B \ldots d(x,y)=\int_0^1\left(\int_{-y}^y (\ldots)\;dx\right)dy$$