Berechnen Sie mit Hilfe des GREENschen Integralsatzes das Kurvenintegral

Question

Aufgabe:

Es sei \( B \) das durch den geschlossenen Streckenzug durch die Punkte

\((0,0), \quad(1,1), \quad(-1,1) \text { und zurück zu }(0,0)\)

berandete Gebiet. Weiterhin sei \( v \) das Vektorfeld
\(v: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad v:=\binom{\arctan \left(x^{2}+\sin x\right)-6 x y^{2}}{\frac{8}{3} x^{3}-16 x y^{2}+e^{y^{2}}} .\)

Berechnen Sie mit Hilfe des GREENschen Integralsatzes das Kurvenintegral \( \int \limits_{\partial B} v \cdot \mathrm{d} \vec{x} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe hier 8x²-16y+12xy rausbekommen, bin mir aber mehr als unsicher, ob das wirklich richtig ist. Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Vielen Dank!

Comments

Ja, das wäre der Integrand für das Flächenintegral.

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Und wie geht es weiter? Ich weiß nicht, wie ich die Intervalle aufteilen und die Grenzen setzen muss

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Wie lautet denn der Greensche Satz? Was ist jetzt grundsätzlich zu berechnen? Kannst Du das Gebiet B denn mal skizzieren?

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Der Greensche Satz ist nicht das Problem, nur die Intervallgrenzen, weil ich mit der Parametrisierung nicht so klarkomme. Hoffe das klappt so mit der Zeichnung. Ein umgedrehtes Dreieck.

Text erkannt:

\( \mathrm{ral} \int \limits_{\partial B} v \cdot d \vec{x} \).

Text erkannt:

\( \mathrm{ral} \int \limits_{\partial B} v \cdot d \vec{x} \).

Answer 1

Hallo,

wenn ich die recht verstanden habe, weißt Du nicht, wie Du ein Interagl

$$\int_B \ldots d(x,y)$$

berechnen kannst? Dazu musst (i.Allg.) Du den Bereich als Normalbereich darstellen (Vgl. mit Deinem Lehrmaterial). Hier gibt es 2 Möglichkeiten:

1. Normalbereich bezüglich x:

Wenn \((x,y)\in B\) liegt, dann gilt auf jeden Fall \(-1 \leq x \leq 1\). Wenn wir jetzt ein festes \(x' \in [-1,1]\) betrachten, dann zeichnen wir (in Gedanken) eine Gerade durch x' parallel zu y-Achse. Aus den Schnittpunkten dieser Gerade mit dem Bereich B lesen wir ab: \((x',y) \in B\) genau dann, wenn \(|x| \leq y \leq 1\). Das ergibt folgende Beschreibung:

$$(x,y) \in B \iff -1 \leq x \leq 1 \text{  und }|x| \leq y\leq 1$$

Nun wissen wir aus Erfahrung, dass man mit Beträgen schlecht rechnen kann, daher "lösen wir den Betrag auf":

$$(x,y) \in B \iff [-1 \leq x \leq 0 \text{  und }-x \leq y\leq 1]\\\quad \text{  ODER } [0 <x \leq 1 \text{  und }x \leq y\leq 1$$

Das führt zu folgendem:

$$\int_B \ldots d(x,y)=\int_{-1}^0\left(\int_{-x}^1 (\ldots)\;dy\right)dx+\int_0^1\left(\int_{x}^1 (\ldots)\;dy\right)dx$$

2. Normalbereich bezüglich y:

Wenn die Variablen in umgekehrter Reihenfolge betrachtet, erhält man:

$$(x,y)  \in B \iff 0 \leq y\leq 1 \text{  und } -y \leq x\leq y$$

Und dazu:

$$\int_B \ldots d(x,y)=\int_0^1\left(\int_{-y}^y (\ldots)\;dx\right)dy$$