Durch Substitution die Stammfunktion von f(x) = 1/ (sin(x) + cos(x)) bestimmen

Question

brauche Hilfe bei einer Aufgabe, leider weiß ich nicht wie man an die Aufgabe ran gehen soll. Ich muss durch eine einfache Substitution eine Stammfunktion zu der folgenden Funktion herleiten.

$$ f(x)=\frac { 1 }{ cos(x)+sin(x)} $$

Hinweis zur Substitution: $$ z=\frac { 1 }{ 2 }(x + \frac { \pi }{ 4}) $$

Wäre für jede Hilfe dankbar...

Comments

sin(x) + cos(x) = √(2) * sin(π/4+x)       . Vgl. Additionstheoreme. https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%282%29+sin%28π%2F4%2Bx%29&lk=1&a=ClashPrefs_*Math- "alternate form".

Woher der Faktor 1/2 kommt ist mir nicht  ganz klar.

Ich hätte jetzt z = π/4 + x gewählt. Habe aber noch nichts gerechnet. Probiere vielleicht beides mal.

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Bin auch auf den Additionstheorem gekommen. Leider muss ich mich aber strikt an die Aufgabenstellung halten. Trotzdem danke.

Answer 1

∫ 1/(SIN(x) + COS(x)) dx

Substitution:

z = x/2 + pi/8

x = 2·z - pi/4

1·dx = 2·dz

∫ 1/(SIN(2·z - pi/4) + COS(2·z - pi/4)) 2·dz

2·∫ 1/(SIN(2·z - pi/4) + COS(2·z - pi/4)) dz

SIN(2·z - pi/4) = SIN(2·z)·COS(pi/4) - COS(2·z)·SIN(pi/4) = √2/2·SIN(2·z) - √2/2·COS(2·z)

COS(2·z - pi/4) = COS(2·z)·COS(pi/4) + SIN(2·z)·SIN(pi/4) = √2/2·COS(2·z) + √2/2·SIN(2·z)

SIN(2·z - pi/4) + COS(2·z - pi/4) = (√2/2·SIN(2·z) - √2/2·COS(2·z)) + (√2/2·COS(2·z) + √2/2·SIN(2·z)) = √2·SIN(2·z)

2·∫ 1/(√2·SIN(2·z)) dz

√2·∫ 1/SIN(2·z) dz

Kommst du ab hier alleine weiter ?

Comments

nicht wirklich, wäre sehr froh wenn du mir weiter helfen würdest.

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Probier mal ein Additionstheorem anzuwenden.

SIN(2·z) = 2·TAN(2·z)/(1 + TAN(2·z)^2)

Wenn du das ersetzt und den Bruch schön zerlegst solltest du vermutlich auf eine Lösung kommen.