Flächeninhaltsberechnung von rationaler Funktion und Koordinatenachsen

Question

f(x)= -5÷√x 

auf f liegt ein Punkt P, in dem die Tangente an f mit der positiven x-Achse einen Winkel von 60° einschließt.

ges: Flächeninhalt der Fläche die von der Tangente und von den Koordinatenachsen begrenz wird?

Ich soll diese Aufgabe als Kurzvortrag der Klasse vorstellen, jedoch weiß ich nicht wo ich den Punkt P ansetzen soll und was es mit den 60° auf sich hat.

Vielleicht hat einer von euch einen Lösungsvorschlag?

Answer 1

f(x) = - 5/√x

f'(x) = 5/(2·x^{3/2}) = tan(60°) --> x = 450^{1/3}/6 = 1.277

Mach dir dazu ruhig eine Skizze.

Comments

Könnten Sie mir erklären wie die 60° zum Einsatz kommen ?

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Miss mal in meiner Zeichnung den Winkel den die Tangente mit der x-Achse einschließt.

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Das entsprechen 60°, doch woher weiß ich wo ich die Tangente ansetze ?

Das versteh ich noch nicht so ganz

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Okay habe jetzt verstanden das am Punkt 1,27 die Tangente die Funktion schneidet, wie mach ich am besten weiter ?

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Dafür gibt es die Bedingung

f'(x) = 5/(2·x^3/2) = tan(60°)

Das kannst du nach x auflösen und bekommst die x-Koordinate heraus.

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Stell die Tangentengleichung auf

a = 1.277

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)

Dann berechnest du wo die Tangente die Achsen schneidet und berechnest dann den Flächeninhalt.

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Ich habe jetzt herausgefunden wo der Punkt P die Funktion schneidet (1,277;-4,424) aber wie bekomme ich die Tangentengleichung und somit die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen heraus ?

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Wie gesagt die Tangentengleichung aufstellen

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)

Einfach einsetzen und vereinfachen

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Einfach wenn man es kann, ich weiß nur nicht wie ich meine gegebenen Werte einsetzen soll ?!

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Setze die 1.277 mal in f(x) und in f'(x) für das x ein. Was bekommst du dann heraus?

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x=3,83 und wie komm ich nun auf y ?

Ich bin grad moralisch total am Ende ..

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Ja x = 3.83

Und wie bist du da jetzt drauf gekommen ?

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Naja die Tangentengleichung lautet: y=1,732x-6,633

wenn ich diese Funktion nach x umstelle kommt für x=3,83 raus. Und das ist der Punkt wo die Tangente die x-Achse schneidet aber wie weiß ich jetzt wo die Tangente die y-Achse schneidet.

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Vielleicht die -6,633 ?

Hm Du solltest nochmal das Thema lineare Funktionen nachlernen.

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Ich mache seit 2h diese Aufgabe ich glaub ich bin total durch..

-6,633 ist doch b und nicht der Schnittpunkt mit der y-Achse oder nicht ?

Was ist b überhaupt !? *kopfschüttel*

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Schau doch mal oben in die Zeichnung. Wo befindet sich in etwa der x-Achsenabschnitt und die Nullstelle ?

Nullstellen berechnet man immer f(x) = 0

Y-Achsenabschnitt berechnet man immer f(0)

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Die Tangente schneidet doch die x-Achse bei etwa 3,83 ?

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Ja. Was fragst du mich du sollst es ablesen. ist das etwa bei 3.8 ? Das sieht doch gut aus und die y-Achse ?

Die Antwort steht doch jetzt schon 2 Stunden da. Ok nicht mit absolut genauen Werten aber die sollst du ja auch berechnen.

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auf den x-Wert komme ich ja auch, aber nicht auf den y-Wert.. Ich weiß ja auch nicht.

Wenn ich schon so eine einfach Aufgabe nicht hinbekomme lasse ich es am besten mit Abitur.
Ich komm nunmal nicht auf y=-6,64

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Das liegt doch nur daran das du sicher rundest bei rechnen

Die Tangentengleichung lautet etwa.

t(x) = 1.732·x - 6.637

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Die Tangentengleichung habe ich bereits.

Mit geht es nun zu allerletzt darum wie ich die Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen berechne ?

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Was ist da so schwer

Nullstellen berechnet man immer f(x) = 0

Y-Achsenabschnitt berechnet man immer f(0)

- 6.633 ist bei dir direkt der y-Achsenabschnitt !

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Ok, Vielen lieben Dank.

nach dieser Aufgabe werde ich wahrscheinlich nie wieder Spaß an Mathe haben.

Ich wünsche noch einen schönen Abend, wenn ich Ihnen diesen nicht zerstört habe..

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Hey nicht verzagen! Manchmal begreift man Dinge nicht auf Anhieb. Schlaf mal drüber und ließ dir den thread morgen nochmal in ruhe durch. Manchmal fällt der Groschen erst nach einer Weile.

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Hallo mathecoach,

eine leichte Kritik. Du verwendest gern für eine Gerade die
Punkt-Steigungsform. Ich nehme immer y = m * x +b.
Meiner hier im Forum gewonnenen Erfahrung nach ist
für die meisten Fragesteller y = m * x + b einfacher und
gewohnter.

mfg Georg

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Ich gebe dir recht das es für viele einfacher und gewohnter sein mag. Das liegt leider am Schulsystem, dass Verschiebungen von Funktionen erst mit der Scheitelpunktform erklärt werden. Die Lehrer sollten in dem Zusammenhang erwähnen, dass das natürlich auch für lineare Funktionen geht.

Ich rechne damit konsequent, weil es einfach einfacher ist. Es erlaubt mit die Tangente an einer Stelle a direkt zu schreiben als

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a) 

Wenn du das beschreiben willst, dann langt bei dir kein Einzeiler. Gerade bei Tangenten finde ich es außerst bequem, wenn man diese Form beherrscht. 

Ich habe viel in der Mathematik gelernt, indem ich mir etwas aus Musterlösungen herausgelesen habe. D.h. ich schau mir an wie Leute etwas gerechnet haben und habe mir es zueigen gemacht nützliche Sachen auch so zu machen. 

Matrizenmultiplikation mache ich z.B. nach dem Falkschen Schema. Und ich hatte bisher noch kein Schüler der nicht dankbar war von mir dieses Rechenschema kennengelernt zu haben.

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Das Thema hatten wir ja schon einmal.
Ich bevorzuge bei Polynomen die Reihe

f ( x ) = a * x + b 
f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d

usw.

mfg Georg

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Das heißt du nutzt bei einer Parabel nie die Scheitelpunktform ?

Wenn ja dann halte ich das für einen Fehler. Die Formen sollten gleichwertig betrachtet werden und je nach Anwendungsfall richtig angewand zum Einsatz kommen.

Daher ist es schon zu wissen

was die allgemeine Form ist

was die Scheitelpunktform / Punkt-Steigungs-Form ist

was die faktorisierte Form ist.

Dabei ist es nur schön zu wissen. D.h. man muss es nicht wissen. Man erleichtert sich nur die Arbeit.

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Das Ganze kann nur historisch verstanden werden :

Realschule 64 bis 69. Nie die pq-Formel, a,b,c-Formel oder
die Scheitelpunktform, den trigonometrischen Pythagoras, bei Dreiecken
nie den Kosinussatz oder den Sinussatz kennengelernt.

Das habe ich erst hier im Forum kennengelernt.
Manches habe ich übernommen.

Die Scheitelpunktform kann ich mittlerweile anwenden.
Bei Parabeluntersuchungen ziehe ich zur Findung des Scheitelpunkts
meist die 1.Ableitung oder die Mitte zwischen den Nullpunkten vor.

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Siehst du. Und vielleicht wirst du irgendwann mal merken das auch die Punkt-Steigungs-Form manchmal nützlich ist.

Ich arbeite ja auch in der Vektorrechnung gerne mit dem Skalar-, dem Kreuz- oder Spat-Produkt. Und das auch wenn die Schüler das Kreuzprodukt nie gemacht haben. Ich finde es gibt wichtige Teile, die sollte man den Schülern nicht vorenthalten. Zumindest nicht denen die lernwillig sind :)

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Deine Sicht der Dinge ist völlig verständlich.

Ich bin allerdings kein Lehrer.
Wenn ich Lehrer wäre hätten die Schüler wohl ein Anrecht
auf die Unterrichtung der genannten Methoden.

ich komme mitunter durcheinander. Zur Lösung einer
quadratischen Gleichung  kann ich die quadratische Ergänzung
aus dem effeff.

Die pq-Formel und die Mitternachtsformel habe ich mir auch schon
einmal hergeleitet ( ist ja auch nicht so schwer ). Aber Einprägen
und damit arbeiten würde mich verwirren. Deshalb lerne ich
sie auch nicht mehr.

(* halber Scherzmodus an *)
Warum erlernst du eigentlich die Textgestaltung mit dem LaTex Editor
nicht mehr ? Einzeilige Terme mit Brüchen werden wesentlich
übersichtlicher wenn Sie zum Beispiel handschriftlich oder mit Latex
eingestellt werden

Beispiel
( x + 2 ) / | x -3 | <  | x + 7 | / ( x + 8 )

Die handschriftliche Variante mußt du dir jetzt denken.
(* halber Scherzmodus aus *)

Zum Abschluß noch der dumme Spruch des Tages
" Wenn du es eilig hast dann gehe langsam "

Answer 2

Vielleicht hilft dir meine Antwort deinen Vortrag besser zu gestalten.

f(x)= -5÷√x 

auf f liegt ein Punkt P, in dem die Tangente an f mit der
positiven x-Achse einen Winkel von 60° einschließt.

Aussage : eine Tangente soll einen Steigungswinkel von 60 ° haben.
Dies ist auch die Steigung der Funktion im Berührpunkt P
m = tan ( 60 ° ) = 1.732

Für den Berührpunkt einer Funktion mit einer Tangente gilt
f ( x ) = t ( x ) ( derselbe Punkt )
f ´( x ) = t´( x )  ( dieselbe Steigung )

t ´ ( x ) = 1.732 = f ´( x )

Schoneinmal die 1.Ableitung / Steigung bilden

f ( x ) = -5 / √ x = -5 / x^{1/2} = -5 * x^{-1/2}  | ableiten nach der Quotienten- oder Produktregel
f ´( x ) = -5 * ( -1/2 ) * x^{-1/2-1}
f ´( x ) = 2.5 * x^{-3/2}

Gesucht ist die Stelle  x für die gilt. Berechnung von x
f ´( x ) = 1.732
2.5 * x^{-3/2} = 1.732
x^{-3/2} = 1.732 / 2.5 | die Umkehroperation zu hoch -3/2 wäre hoch ( - 2/3 )

x = ( 1.732 / 2.5)^{-2/3}  | Taschenrechner )
x =  1.277

Dies ist die x-Koordinate des Berührpunktes.
Ausrechnen der y-Koordinate über die Funktion f
f ( 1.277 )  = -5 / √ 1.277 = -4.425

P ( 1.277 | -4.425 )

Die Tangente führt auch durch diesen Punkt
t ( x ) = m * x + b
t ( 1.277 ) = 1.732 * 1.277 + b = - 4.425
b = -6.637

Die Tangentgleichung lautet

t ( x ) = 1.732 * x - 6.637

Flächenberechnung
Die Tangente bildet mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck.
Die Formel zur Flächenberechnung ist
( Schnittpunkt mit der x-Achse ) mal ( Schnittpunkt mit der y-Achse ) geteilt durch 2

Schnittpunkt mit der y - Achse : f ( 0 ) = b = -6.637
( 0 | -6.637 )

Schnittpunkt mit der x - Achse ( y = 0 ) :  f ( x ) = 0 = 1.732 * x - 6.637
1.732 * x - 6.637 = 0
x =  3.832
( 3.832 | 0 )

Flächeninhalt Dreieck
A = 6.637 * 3.832 / 2

A = 12.716

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.