Dreieck, das die Tangente mit den Koordinatenachsen einschliesst, hat Fläche 10FE

Question

Bestimme den Berührpunkt der Tangente an den Graphen der Funktion f(x)= -x³ +x+ 2 näherungsweise so, dass das Dreieck, das die Tangente mit den Koordinatenachsen einschliesst, 10FE beträgt.

Hilfe Bitte!

Und gib Vorschritte sodass ich es auch verstehe! Vielen Dank

Comments

Skizze (Zahlen sind geschätzt!): 

Im ersten Quadranten könnte das Dreieck ungefähr so aussehen:

~plot~ -x^{3} +x+ 2 ; -0.3 x+2.55;0;x=0 ~plot~

Es könnte aber auch ein Dreieck in einem andern Quadranten in Frage kommen. Weisst du etwas Genaueres? 

Answer 1

f(x) = - x^3 + x + 2

f'(x) = 1 - 3·x^2

Tangente an der Stelle a

t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a) = (1 - 3·a^2)·x + 2·a^3 + 2

Y-Achsenabschnitt t(0)

t(0) = 2·a^3 + 2

Nullstelle t(x) = 0

(1 - 3·a^2)·x + 2·a^3 + 2 = 0 --> x = 2·(a^3 + 1)/(3·a^2 - 1)

Fläche

1/2 * (2·a^3 + 2) * (2·(a^3 + 1)/(3·a^2 - 1)) = 10

a = 0.6674955205 ∨ a = -0.6108013508 ∨ a = -2.050362715 ∨ a = 1.757582673

Nachrechnen und Überprüfen darfst du 

~plot~ -x^3+x+2;(1-3*0.667^2)*x+2*0.667^3+2;(1-3*(-0.611)^2)*x+2*(-0.611)^3+2;(1-3*(-2.050)^2)*x+2*(-2.050)^3+2;(1-3*(1.757)^2)*x+2*(1.757)^3+2 ~plot~

Es gibt auch noch zwei Stellen für die die Fläche -10 wird.

a = -0.5342758112 ∨ a = 0.4990626735

Comments

Flächen können eigentlich nicht negativ sein (?) 

---

Wie bist du auf diesen Ergebnis gekommen?

(x) = f'(a) * (x - a) + f(a) = (1 - 3·a2)·x + 2·a³+ 2

---

Das ist die allgemeine Tangentenfunktion an der Stelle a. Da brauchst du nur noch einsetzen.

---

Ja das weiss ich aber meine Problem ist hier:

(x) = f'(a) * (x - a) + f(a) = (1 - 3·a2)·x + 2·a3 + 2

Ich vestehe nicht wie du das eingesetzt hast. Kannst du bitte erklaren oder vielleicht diesen Schritt schreiben.

Danke

---

Habs schon danke

Ich hatte eine sache falsch gerechnet 

---

t(x) = (1 - 3·a^2)·(x - a) + (- a^3 + a + 2)

Jetzt musst du nur ausmultiplizieren und wo es geht zusammenfassen. Bekommst du das hin?

---

Warum benutzt du beim Y-Achesenabschnitt

t(0) = 2·a3 + 2

nur das Ende der Rechnung?

---

Gute Frage. Schau dir mal die Skizzen an und makiere dir dann mal ein Dreieck, das von der Tangente und den Achsen gebildet wird.

Und jetzt kommt die Frage. Wie berechnest du die Fläche dieses Dreiecks?

---

1/2*g*h

Hab es trotzdem noch nicht so gut verstanden, glaube ich konnten Sie mir es bitte erklaren

---

Na zeichne es dir mal ein.

Als Grundseite und Höhe nimmt man die Strecken auf den Achsen die das Dreieck bilden.

---

Mach ich noch.

Noch eine Frage ich hab die Art und Weise nicht verstanden wie Sie die Nullstellen berechnet hat nicht verstanden. Können sie bitte mir erklären? Schrittweise

---

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer bei (0 ; y) also setzt du x = 0 in die Funktion ein und schaust was raus kommt. Das ist auch der y-Achsenabschnitt.

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist immer bei (x ; 0) also setzt du den Funktionswert bzw. den Funktionsterm = 0 ein. Das löst du dann ganz entspannt nach x auf.

Probiere das oben nachzuvollziehen. Eventuell mache dir nur Zwischenschritte.

---

Wie bist du auch die geteilt dich gekommen?

---

"Wie bist du auch die geteilt dich gekommen? " 

Bitte verständlicher formulieren. Hast du denn inzwischen etwas gezeichnet und gerechnet? Was genau? Zwischenschritte gefunden? 

---

(1 - 3·a^{2})·x + 2·a^{3} + 2 = 0 --> x = 2·(a^{3} + 1)  /  (3·a^{2} - 1)
Wieso geteilt durch? / simboliesiert "geteilt durch" oder?

Ja

---

(1 - 3·a^{2})·x + 2·a^{3} + 2 = 0

In dieser Gleichung kommt die Unbekannte x genau einmal vor. Isoliere x Schritt für Schritt. Braucht halt 2 bis 3 Zeilen. 

[spoiler]

(1 - 3·a^{2})·x = - ( 2·a^{3} + 2) | : Klammer 

x = - ( 2·a^{3} + 2)/(1 - 3·a^{2})

x =  ( 2·a^{3} + 2)/(3·a^{2}-1)

x =  ( 2·(a^{3} + 1))/(3·a^{2}-1)

[/spoiler]

 --> x = 2·(a^{3} + 1)  /  (3·a^{2} - 1) 

das ist übrigens dasselbe wie x = - 2·(a^{3} + 1)  /  (1 -3·a^{2})

---

Muss ich also durch x teilen oder wie ? Wie kann ich hier x isolieren? man kann nicht 0/x machen dann kommt es trotzdem 0 raus

Wie mache ich das?

---

Soll denn x am Schluss unter dem Bruchstrich stehen?

Wie löst du 5x + 7 = 0 schrittweise nach x auf? 

[spoiler]

5x = -7

x = -7/5 

[/spoiler]

---

5x+7=0 | -7

5x= -7 | durch 5

x = -7/5

Aber kann noch nicht dass machen ich hab es schon gemacht aber ich weisst nicht warum da kommt mir etwas anderes raus... wie hast du das gemacht? sag mir bitte nur den ersten zwischenschritt

---

Richtig. Ich habe das oben (spoiler) nun genau so auch gemacht. Mathecoach hat da unterwegs noch ein paar Minus eliminiert. 

---

(1 - 3·a2)·x = - ( 2·a3 + 2) | : Klammer

x = - ( 2·a3 + 2)/(1 - 3·a2) wieso ist der - zeichen plotzlich weg

x = ?( 2·a3 + 2)/(3·a2-1) wieso ist 1 plotzlich negativ geworden

x =  ( 2·(a3 + 1))/(3·a2-1)

Ich habs verstanden kein problem! vielen dank fur euer hilfe!!!

---

Gut. Dann: Gute Nachtruhe! 

Answer 2

Eine Tangente gehört an die Stelle
x = 0.6675
Es wurde allerdings ein Matheprogramm
zum Berechnen benutzt weil sonst zu
umfangreich.

Comments

Ist das dein Ernst mit der Antwort? Das steht doch oben schon 100 Mal.

---

Habe obiges nicht gelesen.

An den Fragesteller :
Ich kann meinen Ansatz auch gern noch
einstellen.